分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。

下面会有很多例子，但我们先来看看法则：

∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx

图：

我们现在看一个例子：

这是 x 乘以 cos(x)，所以应该可以用分部积分法。

我们需要先选择哪个函数为 u 和 v：

格式和法则里一样了：∫u v dx

求 u 的积分：u' = x' = 1

求 v 的积分：∫v dx = ∫cos(x) dx = sin(x)   （见 积分法则）

放进法则里：

简化，然后解：

步骤是：

用文字写出来，∫u v dx 是：

（u 积分 v） 减 （u 的倒数，v 的积分）的积分

再看几个例子：

先选 u 和 v：

求 u 的积分：ln(x)' = 1/x

求 v 的积分：∫1/x2 dx = ∫x-2 dx = −x-1 = -1/x   （基于 幂次方法则）

放进法则里：

简化：

只有一个函数！我们怎样选 u 和 v ?

没问题！我们选 v 为 "1"：

求 u 的积分：ln(x)' = 1/x

求 v 的积分：∫1 dx = x

放进法则里：

简化：

选 u 和 v：

求 u 的积分：(ex)' = ex

求 v 的积分： ∫x dx = x2/2

放进法则里：

糟了！越来越复杂！

如果我们选不同的 u 和 v 呢？

选不同的 u 和 v：

求 u 的积分：(x)' = 1

求 v 的积分：∫ex dx = ex

放进法则里：

简化：

故事的寓意是：小心选 u 和 v！

选一个微分后比较简单的 u 和积分后不会更复杂的 v。

可以用英语字 I LATE 来帮助记忆。按以下次序来选 u：

最后来看一个（复杂的）例子：

选 u 和 v：

求 u 的积分：sin(x)' = cos(x)

求 v 的积分：∫ex dx = ex

放进法则里：

乍看更加复杂，但别着急！我们可以再来一次分部积分法：

选 u 和 v：

求 u 的积分：cos(x)' = -sin(x)

求 v 的积分：∫ex dx = ex

放进法则里：

简化：

现在每边都有同一个积分……

……把右边的搬到左边：

简化：

分部积分法是基于 导数的积法则：

求每边的积分，然后重排：

有些人喜欢上面这个格式，但我喜欢再求 v 的积分，使得左边简单一点：