Python

2023-11-20 09:27| 来源: 网络整理| 查看: 265

参考链接： SymPy简易教程 SymPy库常用函数 Python sympy 模块常用功能(一） Python科学计算库SymPy初探

简介

SymPy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。 SymPy支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。(来自维基百科的描述)

基本数值类型

实数，有理数和整数 SymPy有三个内建的数值类型：实数，有理数和整数。有理数类用两个整数来表示一个有理数。分子与分母，所以Rational(1,2)代表1/2，Rational(5,2)代表5/2，等等。分数：

from sympy import * a = Rational(1,2) b = Rational(2) print(a) print(b)

结果：

1/2 2

整数计算：

from sympy import * a = Rational(2)**2/Rational(10)**2 b = 2**2/10**2 print(a) print(b)

结果：

1/25 0.04 Sympy模块的特殊函数的写法

三角函数： sin cos tan 反三角函数： asin acos atan 指数函数： exp() 对数函数： Inx：log(x) logn(x）：log(x,n)

特殊的常数

E——自然常数 π——pi e——exp(1) limit——求极限 oo——无穷

from sympy import * a = pi b = pi**2 c = pi.evalf() #evalf()函数可以用来求出表达式的浮点数 d = pi.evalf(n=3) #evalf(n=m)是浮点数保留m个有效数字 print(a) print(b) print(c)

运行结果：

pi pi**2 3.14159265358979 3.14 打印公式 from sympy import pprint, Symbol, exp, sqrt #pprint()用于在控制台上漂亮地打印输出。 LaTeX 可以达到最佳效果。 from sympy import init_printing init_printing(use_unicode=True) # 对于某些字符，我们需要启用 unicode 支持 x = Symbol('x') a = sqrt(2) pprint(a) print(a) c = (exp(x) ** 2)/2 print('//----------------------//') pprint(c) print('//----------------------//') print(c)

结果：

√2 sqrt(2) //----------------------// 2⋅x ℯ ──── 2 //----------------------// exp(2*x)/2 Sympy基本使用定义变量——Symbols函数

对比与其他的计算机代数系统，在SymPy中要明确声明符号变量：

from sympy import * x = symbols('x') a = x+1 print(a)

结果：

x + 1 from sympy import * x,y,z=symbols('x y z') crazy = symbols('unrelated') a = crazy + 1 b = z + 1 print(a) print(b)

结果：

unrelated + 1 z + 1 变量替换subs函数

例子：

from sympy import * x = symbols('x') t = symbols('t') #定义变量 a = x + 1 b = a.subs(x, 2) c = a.subs(x, t) print(a) print(b) print(c)

结果：

x + 1 3 t + 1 from sympy import pi, exp, limit, oo #from sympy.abc import x, y 可以从sympy.abc模块导入符号。它将所有拉丁字母和希腊字母导出为符号，因此我们可以方便地使用它们。 from sympy.abc import x, y a = (1 + x*y).subs(x, pi) b = (1 + x*y).subs({x:pi, y:2}) c = (1 + x*y).subs([(x, pi), (y, 2)]) print(a) print(b) print(c)

结果：

pi*y + 1 1 + 2*pi 1 + 2*pi from sympy.abc import x, y reps = [(y, x ** 2), (x, 2)] #x=2,y=x^2=4 a = (x + y).subs(reps) #a=x+y=6 b = (x + y).subs(reversed(reps)) #y=2,x=x^2 print(a) print(b) c = (x**2 + x**4).subs(x**2, y) d = (x**2 + x**4).xreplace({x**2: y}) print(c) print(d)

结果：

6 x**2 + 2 y**2 + y x**4 + y SymPy 规范表达形式

SymPy 会自动将表达式转换为规范形式。 SymPy 仅执行廉价操作；因此，表达式可能无法求值为最简单的形式。

from sympy.abc import a, b expr = b*a + -4*a + b + a*b + 4*a + (a + b)*3 print(expr)

结果：

2*a*b + 3*a + 4*b SymPy 扩展代数表达式

使用expand()，我们可以扩展代数表达式；即该方法尝试消除幂和乘法。

from sympy import expand from sympy.abc import x expr = (x + 1) ** 2 print(expr) print(expand(expr))

结果：

(x + 1)**2 x**2 + 2*x + 1 SymPy 简化表达式

可以使用simplify()将表达式更改为更简单的形式。

from sympy import sin, cos, simplify, pprint from sympy.abc import x,y expr = sin(x+y) / (sin(y)*cos(x)) print(expr) pprint(expr) print('-----------------------') expr = simplify(expr) print(expr) pprint(expr)

结果：

sin(x + y)/(sin(y)*cos(x)) sin(x + y) ───────────── sin(y)⋅cos(x) ----------------------- tan(x)/tan(y) + 1 tan(x) ────── + 1 tan(y) SymPy 比较表达式

SymPy 表达式与equals()而不是==运算符进行比较。

from sympy import pprint, Symbol, sin, cos x = Symbol('x') a = cos(x)**2 - sin(x)**2 b = cos(2*x) print(a.equals(b)) # 在应用该方法之前，SymPy 尝试简化表达式。 # we cannot use == operator print(a == b)

结果：

True False SymPy 求值表达式

可以通过替换符号来求值表达式。

# 通过用数字替换a和b符号来求值表达式 from sympy.abc import a, b from sympy import pprint expr = b*a + -4*a + b + a*b + 4*a + (a + b)*3 print(expr.subs([(a, 3), (b, 2)]))

结果：

29 SymPy 求解方程

用solve()或solveset()求解方程。

from sympy import Symbol, solve x = Symbol('x') sol = solve(x**2 - x, x) #x^2 - x = 0 print(sol) #x=0 , x=1

结果：

[0, 1]

solve()的第一个参数是公式。该公式以适合 SymPy 的特定形式编写；即x2 - x代替x2 = x。第二个参数是我们需要解决的符号。

或者，我们可以将Eq用于公式。

from sympy import pprint, Symbol, Eq, solve x = Symbol('x') eq1 = Eq(x + 1, 4) pprint(eq1) sol = solve(eq1, x) print(sol)

结果：

x + 1 = 4 [3]

使用solveset()，我们找到了给定求目标区间内的解的解决方案。

from sympy.solvers import solveset from sympy import Symbol, Interval, pprint x = Symbol('x') sol = solveset(x**2 - 1, x, Interval(0, 50)) #解在区间（0,50） print(sol) sol2 = solveset(x**2 - 1, x, Interval(-10, 50)) #解在区间（-10,50） print(sol2)

结果：

FiniteSet(1) FiniteSet(-1, 1) SymPy 序列

序列是其中允许重复的对象的枚举集合。序列可以是有限的或无限的。元素的数量称为序列的长度。与集合不同，同一元素可以在序列中的不同位置出现多次。元素的顺序很重要。

from sympy import summation, sequence, pprint from sympy.abc import x s = sequence(x, (x, 1, 10)) print(s) pprint(s) print(list(s)) print(s.length) print(summation(s.formula, (x, s.start, s.stop))) print(sum(list(s)))

结果：

SeqFormula(x, (x, 1, 10)) [1, 2, 3, 4, …] [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 10 55 55 SymPy 极限

极限是函数（或序列）“接近”作为输入（或索引）“接近”某个值的值。

from sympy import sin, limit, oo from sympy.abc import x l1 = limit(1/x, x, oo) print(l1) l2 = limit((1+x)**(1/x), x, 0) print(l2)

结果：

0 E SymPy 矩阵

在 SymPy 中，我们可以使用矩阵。矩阵是数字或其他数学对象的矩形数组，为其定义了运算（例如加法和乘法）。

矩阵用于计算，工程或图像处理。

from sympy import Matrix, pprint N = Matrix([2, 2]) pprint(N) M = Matrix([[2],[2]]) pprint(M)

结果：

⎡2⎤ ⎢ ⎥ ⎣2⎦ ⎡2⎤ ⎢ ⎥ ⎣2⎦

矩阵计算：

from sympy import Matrix, pprint M = Matrix([[1, 2], [3, 4], [0, 3]]) pprint(M) N = Matrix([2, 2]) pprint(N) print("---------------------------") print(M*N) print("---------------------------") pprint(M*N)

结果：

⎡1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢3 4⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 3⎦ ⎡2⎤ ⎢ ⎥ ⎣2⎦ --------------------------- Matrix([[6], [14], [6]]) --------------------------- ⎡6 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢14⎥ ⎢ ⎥ ⎣6 ⎦ SymPy 绘图

SymPy 包含用于绘图的模块。它基于 Matplotlib 构建。

from sympy import sin from sympy.abc import x from sympy.plotting import plot plot(sin(x))

结果：在这里插入图片描述

函数的求导

函数求导要用到sympy中的diff diff的基本用法 diff(func,x,n) 其中：

func是要求导的函数x是要对其求导的变量n是可选的，表示求n阶导数，默认为1阶导数

【注意】在用diff进行求导之前，需要用symbols函数定义变量 1、一元函数一阶导数

from sympy import diff from sympy import symbols x = symbols("x") a = diff(x**4,x) print(a)

结果：

4*x**3

2、一元函数多阶求导

from sympy import diff from sympy import symbols def func(x): return x**4 x = symbols("x") print(diff(func(x),x,3))

结果：

24*x

3、对多变量函数求偏导

from sympy import diff from sympy import symbols def func(x,y): return x**4*y+x*y**3 x,y = symbols("x,y") print(diff(func(x,y),x)) #函数对x求偏导 print(diff(func(x,y),y)) #函数对y求偏导 print(diff(func(x,y),x,y)) #函数对x先求偏导，然后对y求偏导

结果：

4*x**3*y + y**3 x**4 + 3*x*y**2 4*x**3 + 3*y**2

4、将导数带入具体的值求某一点处的导数

from sympy import diff from sympy import symbols x = symbols("x") print(diff(x**4,x).subs(x,2)) # 表示将x = 2，带入导函数4*x**3中

结果：

32 求不定积分 from sympy import * x = symbols('x') expr = exp(x) * sin(x) + exp(x) * cos(x) print(integrate(expr, x)) #integrate是积分的意思 pprint(integrate(expr, x))

结果：

exp(x)*sin(x) x ℯ ⋅sin(x) 求定积分 import sympy from sympy import * x = symbols('x') expr = exp(x) * sin(x) + exp(x) * cos(x) print(integrate(expr, x, (x,-oo,oo))) pprint(integrate(expr, x, (x,-oo,oo))) a = sympy.log(x) print(integrate(a, x, (x,1,2))) pprint(integrate(a, x, (x,1,2))) print(integrate(a, x, (x,1,oo))) pprint(integrate(a, x, (x,1,oo)))

结果：

AccumBounds(-oo, oo) -9/4 + 2*log(2) -9/4 + 2⋅log(2) oo ∞ 求微分方程的解 from sympy import * y = Function('y') t = Symbol('t') pprint(y(t).diff(t)) #y' pprint(y(t).diff(t,t)) #y'' sol = dsolve(Eq(y(t).diff(t,t) - y(t), exp(t)), y(t)) #求解y''-y=e^t print(sol)

结果：

d ──(y(t)) dt 2 d ───(y(t)) 2 dt Eq(y(t), C2*exp(-t) + (C1 + t/2)*exp(t)) 打印latex公式 from sympy import * x = symbols('x') expr = cos(x)**2 pprint(Integral(expr, (x, 0, pi))) print('//---------------------------//') print(latex(Integral(expr, (x, 0, pi))))

结果：

π ⌠ ⎮ 2 ⎮ cos (x) dx ⌡ 0 //---------------------------// \int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 因式分解 from sympy import * from sympy.abc import x,y,z print(factor(x**3 - x**2 + x - 1)) print(factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z))

结果：

(x - 1)*(x**2 + 1) z*(x + 2*y)**2 降幂排列 from sympy import * from sympy.abc import x,y,z expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3 print(collect(expr, x)) #按x降幂排列 print(collect(expr, x).coeff(x,2)) #和 coeff搭配使用，可以求n次项系数, 这里就是求x^2项的系数

结果：

x**3 + x**2*(2 - z) + x*(y + 1) - 3 2 - z 约分 from sympy import * from sympy.abc import x print(cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)))

结果：

(x + 1)/x 三角函数化简 from sympy import * from sympy.abc import x print(trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)) print(trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)) #可用于双曲函数化简

结果：

cos(4*x)/2 + 1/2 cosh(2*x) 三角函数展开 from sympy import * from sympy.abc import x,y print(expand_trig(sin(x + y))) print(expand_trig(tan(2*x)))

结果：

sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x) 2*tan(x)/(1 - tan(x)**2) 特殊函数

factorial(n) #阶乘 binomial(n, k) #二项分布函数 gamma(x) #伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成Γ（x)。当函数的变量是正整数时，函数的值就是前一个整数的阶乘，或者说Γ（n+1）=n！。 Γ（x+1）=xΓ（x），Γ⑴=1，Γ（1/2）=√π，对正整数n，有Γ（n+1）=n！，Γ（1-x）Γ（x)=π/sin（πx) 对于x>0,伽马函数是严格凸函数。伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在-k处的留数为（-1）^k/k!

from sympy import * print(factorial(5)) print(binomial(20, 1/3)) print(gamma(5))

结果：

120 3.05661679604108 24 方程（组）求解

5.5Python数据处理篇之Sympy系列(五)—解方程

from sympy import * from sympy.abc import x,y print(solve(x**3 - 4*x**2 - 3*x + 18)) print(roots(x**3 - 4*x**2 - 3*x + 18)) #如果要求多重根重复次数可以用roots print(solve([x - y + 2, x + y - 3], [x, y])) #求解方程组

结果：

[-2, 3] #如果有重根仅显示一个 {-2: 1, 3: 2} #表示 -2 是1重根，3 是2重根 #因此x**3 - 4*x**2 - 3*x + 18 = 0 的解：-2,3,3 {x: 1/2, y: 5/2} 求解多元多次方程组

python求解多元多次方程组或非线性方程组在这里插入图片描述

from sympy import Symbol, solve #from sympy import * x = Symbol('x') y= Symbol('y') z = Symbol('z') # x, y, z = symbols("x, y ,z") def solve_function(): return [ x**2+y**2-10, y**2+z**2-34, x**2+z**2-26,] solved_value=solve(solve_function(), [x,y,z]) print(solved_value) [(-1, -3, -5), (-1, -3, 5), (-1, 3, -5), (-1, 3, 5), (1, -3, -5), (1, -3, 5), (1, 3, -5), (1, 3, 5)]

【本文地址】

Python

Python

今日新闻

推荐新闻