对于微分方程

y ′ = 1 − y 2 y'=1-y^2 y′=1−y2

画出他的相图，其中 x ∈ [ − 3 , 3 ] x\in[-3,3] x∈[−3,3] , y ∈ [ − 3.3 ] y\in [-3.3] y∈[−3.3],步长为 h = 0.2 h=0.2 h=0.2,箭头长为 c = 0.01 c=0.01 c=0.01

则MATLAB代码为

2021年2月9日20:35:54

有朋友问 u v 是怎么算的，现做如下解释。

我 quiver 函数用的不多，存在用错的可能。如果我的解释有误，还望指教。

首先我们要知道画向量场的原理是什么。画向量场其实就是画很多箭头。那么为了确定箭头的形式，要确定箭头的起点，箭头的方向，箭头的大小。

箭头的起点，这里采用是在 [ − 3 , 3 ] × [ − 3 , 3 ] [-3,3]\times[-3,3] [−3,3]×[−3,3] 上等距取点，也就是第二三四行代码。

那么箭头的方向和大小如何计算呢？首先要知道箭头的方向是什么含义。箭头的方向表示曲线在该点处的切线方向，而一点处的切线方向，可以用 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy 来表示。

而我们要算的 u v，就是 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy。

由微积分的知识我们可以知道。

Δ y Δ x = y ′ (1) \frac{\Delta y}{\Delta x}=y'\tag{1} ΔxΔy​=y′(1)

可以想象到在该切线方向上，有任意多满足 ( 1 ) (1) (1) 的 ( Δ x , Δ y ) (\Delta x, \Delta y) (Δx,Δy) ，但我们这里考虑单位向量，即：

Δ x 2 + Δ y 2 = 1 (2) \Delta x^2+\Delta y^2=1\tag{2} Δx2+Δy2=1(2)

至于我为什么要考虑单位向量呢？原因有二，一个是总要有一个标准来确定 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy，选啥向量都一样，还不如选个单位向量感觉比较酷。另一个是，我发现如果不把所有的 Δ x 2 + Δ y 2 \Delta x^2+\Delta y^2 Δx2+Δy2 取成一个定值，画出来的图就很不好看。参考代码如下：

所以我猜测，确实所有的 Δ x 2 + Δ y 2 \Delta x^2+\Delta y^2 Δx2+Δy2 都要取成一个定值。而且测试表明，这个定值不影响作图的效果。所以不妨设这个定值为1.

结合式子 ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) (1),(2)，可以得到：

Δ y = y ′ 1 + y ′ 2 , Δ x = 1 1 + y ′ 2 \Delta y= \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}},\Delta x=\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}} Δy=1+y′2 ​y′​,Δx=1+y′2 ​1​

这就是第5,6,7行代码的由来

2022年4月27日23:05:45