本文作者：作者：翁欣（中科院管理科学与工程研究生在读）

回答这个问题我们分以下几步解释：

这是一个在教材上被广泛使用的解释：如果原问题是企业A拥有m种资源（有m个约束），计划生产n种产品（有n个变量），目标是最大化总收入；那么对偶问题就是，企业B想要收购这些资源，需要确定m种资源的报价（有m个变量），目标是最小化总成本，但企业A只有在卖资源的收益不低于卖产品的时候才会同意卖资源（n个约束）。

数值实例：

企业A生产书架、桌子和椅子三种产品，拥有48m³木材，20h制造工时，8h测试工时三项资源。已知：

书架售价60元，生产一个书架需要8单位木材、4单位制造工时和2单位测试工时；

桌子售价30元，生产一张桌子需要6单位木材、2单位制造工时和1.5单位测试工时；

椅子售价20元，生产一把椅子需要1单位木材、1.5单位制造工时和0.5单位测试工时；

求三种产品各生产多少数量时，企业A能够最大化总收入。

显然，原问题的线性规划为：

如果企业B想要收购木材、制造工时、测试工时这三样资源，就必须为每项资源报价，并且满足企业A愿意出让资源的条件，即让企业A获得不低于自己制造产品的收入。

求三项资源的单位报价各为多少时，企业B能够最小化总成本。

那么，可以写出对偶问题的线性规划是：

上面的例子，旨在从实际经济问题的角度解释「每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题」这句话的合理性。后面的章节中我们会进一步阐述两个问题的解如何对应，也就是，如果我们计算出了对偶问题的最优解，如何用它推算出原问题的最优解。

从数学角度，对偶问题可以被理解为寻找原问题目标函数上界（或下界）的问题。

以原问题是求目标函数最大化为例，我们以向量形式写线性规划：

那么，最小的上界就是原问题目标函数的最优值。在所有的上界中，我们要找到最小的那一个，这个问题表述出来就是：

可以发现，这就是对偶问题的形式。

反之，如果原问题是求目标函数最小化，那么对偶问题就是在寻找原问题目标函数的下界。这张图可以帮助理解：

在图中，26是目标函数最优值，两个问题分别从左右两侧逼近最优值。

简单结合两个角度的解释。

也就是说，在这个例子里，对偶问题的任意一个可行解，都是原问题的一个上界。因为企业B用这组报价可以买到资源，所以企业A制造产品的收入不可能高于这组报价对应的成本。

当我们找到企业B所有报价里总成本最低的那一组，就是企业A能获得的总收入的最大值，是原问题的最优解。

接下来我们想考虑，同样是求解线性规划，解对偶问题会比解原问题更容易吗？或者说，什么情况下，考虑对偶问题有助于求解原问题？

使用单纯形法时，如果原问题约束多变量少，转换成对偶问题，就是约束少变量多。回顾单纯形法的原理，约束的减少能够有效降低计算时间。

2.帮助证明原问题无解

类似“证明无罪比证明有罪更难”，要证明原问题有解，只需要找出一个满足约束的点；却不能通过遍历所有的点来证明原问题无解。对偶问题的出现为证明原问题无解提供了思路，具体的方法在Farkas lemma部分展开说明。

3.便于进行敏感度分析

很多时候我们对原问题的好奇心并不仅限于得到最优解，而是还关注「如果某些已知条件发生变化，对最优解的影响程度如何」，这就是敏感度分析。

对偶问题和敏感性分析息息相关。一是增加敏感度分析的直观程度（例如，对偶问题的最优解就是原问题约束的影子价格），二是在改变某些条件导致原问题无可行解时，可以借助仍然有可行解的对偶问题来分析。

参考文献

[1] L Winston, Wayne & B Goldberg, Jeffrey. (2004). Operations research: applications and algorithms.

[2] Vijay V. Vazirani. (2003). Approximation Algorithms.

[3] 为什么我们要考虑线性规划的对偶问题？-知乎