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所阅读书目:《Cooperative Control of Multi-Agent Systems》 1.拉普拉斯矩阵L的特征值引理 1: 有向图G的拉普拉斯矩阵L: 1.至少有一个零特征值,其对应的右特征向量为1 2.所有非零特征值都有正实部 3.当且仅当G具有一个有向生成树时,0是L的一个简单特征值。 4.L存在一个与零特征值相关的非负的左特征向量r,满足rTL = 0, r1 = 1。而且,如果G有一个有向生成树,r是唯一的。 引理 2: 1.当且仅当无向图是连接的(connected),0是L的一个简单特征值 2.L的最小的非零特征值λ2: 连接无向图的拉普拉斯矩阵L的最小非零特征值λ2常被称为费德勒特征值(Fiedler eigenvalue),表示了图的代数连通度。 对于有向图: 引理 4: 对于强连接有向图,其代数连通度定义为:(r,R如引理3中定义) 对于平衡图,定义为: 引理 5: z = [z1, · · · , zN]T , zi ∈ R. 邻接矩阵:A ∈ R^(N×N), 拉普拉斯矩阵: L ∈ R^(N×N) 一致性: 另外,最终一致性:r^(T) z(0) 其中r为L的归一化左特征向量,与零特征值相关联。 4.拉普拉斯矩阵的另一种形式
为了避免混淆,进行如下定义: 标准化邻接矩阵: |
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