高斯消去、列主元消去、Lu分解、追赶法（matlab） |
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高斯消去、列主元消去、Lu分解、追赶法（matlab）
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一、高斯消去法二、高斯列主元消去法三、Lu分解四、追赶法
一、高斯消去法
python import numpy as np def gaosi(A,b): [n, m] = b.shape solution = np.zeros((n, m)) for k in range(0,n-1): for i in range(k+1,n): mik=A[i,k]/A[k,k] for j in range(k+1,n): A[i,j]=A[i,j]-mik*A[k,j] b[i]=b[i]-mik*b[k] solution[n-1]=b[n-1]/A[n-1,n-1] for i in range(n-2,-1,-1): for j in range(i+1,n): solution[i]=solution[i]+A[i,j]*solution[j] solution[i]=(b[i]-solution[i])/A[i,i] return solution A = np.array([[10,-7,0,1],[-3,2.099999,6,2],[5,-1,5,-1],[2,1,0,2]]) b = np.array([[8],[5.900001],[5],[1]]) print(gaosi(A,b)) 二、高斯列主元消去法基于高斯消去法的改进，当列主元出现数值较小时，在消去的过程列主元会作为分母，导致误差的出现。基于此，列主元消去是将每一次的主元通过行互换，用绝对值最大的列主元进行消去 function solution = liezhuyuan(A,b) n = length(b); for k=1:n-1 [value position]=max(abs(A(k:n,k))); %主元所在位置和主元的值 if position~=1 %若a(k,k)不是绝对值最大的，换位置 a_k_position=A(k,k:n); b_k_position=b(k); A(k,k:n)=A(position+k-1,k:n); A(position+k-1,k:n)=a_k_position; b(k)=b(position+k-1); b(position+k-1)=b_k_position; end % 后面消元 for i=k+1:n mik=A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:n A(i,j)=A(i,j)-mik*A(k,j); end b(i)=b(i)-mik*b(k); end end solution(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 for j=i+1:n solution(i)=solution(i)+A(i,j)*solution(j); end solution(i)=(b(i)-solution(i))/A(i,i); end end 三、Lu分解
追赶法只有当矩阵为三对角矩阵时才能使用（形如这样的） 矩阵为三对角矩阵时 ，用a,b,c 存储。 a为下对角线元素，b为对角线，c为上对角线。 function x =zhuigan(a,b,c,f) %a下三角列（前面加0），b为主对角线，c为上三角,f为右端向量 %a,b,c为行向量，f为列向量 %如输入a = [0 1 1 1] % b=[4 4 4 4] % c = [2 2 2] % f=[1;2;3;4] % zuigan(a,b,c,f) %输出 % ans = % 0.0488 0.4024 0.1707 0.9573 %rats(ans)= % 2/41 33/82 7/41 157/164 n=length(f); l(1)=b(1); for i=1:n-1 u(i)=c(i)/l(i); l(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*u(i); end y(1)=f(1)/l(1); for i=2:n y(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/l(i); end x(n)=y(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1); end end |
比如对与上面的这个方程组，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消 去未知数的方法把原方程组 Ax = b 化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.。 大体过程主要分为消去与回代 
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