作者：HDU-STEA_banjiu

时间：2021/1/11

在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

使用LU分解可以提高计算效率。

**最终结果：**需要将矩阵A分解为 A = L ⋅ U A=L\cdot U A=L⋅U 其中矩阵L为对角线为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵。具体如下： A = [ 1 0 1 a a a b b a ] , L = [ 1 0 0 i 1 1 0 i 2 i 3 1 ] ， U = [ u 11 u 12 u 13 0 u 22 u 23 0 0 u 33 ] A=\begin{bmatrix} 1&0&1\\ a&a&a\\ b&b&a\\ \end{bmatrix}, L=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ i_1&1&0\\ i_2&i_3&1\\ \end{bmatrix}， U=\begin{bmatrix} u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\ 0&0&u_{33}\\ \end{bmatrix} A=⎣⎡​1ab​0ab​1aa​⎦⎤​,L=⎣⎡​1i1​i2​​01i3​​001​⎦⎤​，U=⎣⎡​u11​00​u12​u22​0​u13​u23​u33​​⎦⎤​

A [ 1 0 1 a a a b b a ] ⟹ E 21 B [ 1 0 1 0 a 0 b b a ] ⟹ E 31 C [ 1 0 1 0 a 0 0 b a − b ] ⟹ E 32 U [ 1 0 1 0 a a 0 0 a − b ] A \begin{bmatrix} 1&0&1\\ a&a&a\\ b&b&a\\ \end{bmatrix} \stackrel{E_{21}} \Longrightarrow %箭头 B \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&0\\ b&b&a\\ \end{bmatrix} \stackrel{E_{31}} \Longrightarrow C \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&0\\ 0&b&a-b\\ \end{bmatrix} \stackrel{E_{32}} \Longrightarrow U \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&a\\ 0&0&a-b\\ \end{bmatrix} A⎣⎡​1ab​0ab​1aa​⎦⎤​⟹E21​​B⎣⎡​10b​0ab​10a​⎦⎤​⟹E31​​C⎣⎡​100​0ab​10a−b​⎦⎤​⟹E32​​U⎣⎡​100​0a0​1aa−b​⎦⎤​

要从矩阵A变换到矩阵B，即将矩阵A第二行减去第一行乘以a，这就等同于矩阵A左乘 E 21 E_{21} E21​： E 21 A = B [ 1 0 0 − a 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 1 a a a b b a ] = [ 1 0 1 0 a 0 b b a ] E_{21}A=B\\ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -a&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ a&a&a\\ b&b&a\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&0\\ b&b&a\\ \end{bmatrix} E21​A=B⎣⎡​1−a0​010​001​⎦⎤​⎣⎡​1ab​0ab​1aa​⎦⎤​=⎣⎡​10b​0ab​10a​⎦⎤​ 如此，我们便可得到 E 21 E_{21} E21​。

同样，我们可以得到 E 31 、 E 32 E_{31}、E_{32} E31​、E32​，如下： E 31 = [ 1 0 0 0 1 0 − b 0 1 ] ， E 32 = [ 1 0 0 0 1 0 0 − b / a 1 ] E_{31}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ -b&0&1\\ \end{bmatrix}， E_{32}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-b/a&1\\ \end{bmatrix} E31​=⎣⎡​10−b​010​001​⎦⎤​，E32​=⎣⎡​100​01−b/a​001​⎦⎤​ 由于 A = L ⋅ U A=L\cdot U A=L⋅U，并且 A = E 21 − 1 ⋅ E 31 − 1 ⋅ E 32 − 1 ⋅ U A=E_{21}^{-1}\cdot E_{31}^{-1}\cdot E_{32}^{-1}\cdot U A=E21−1​⋅E31−1​⋅E32−1​⋅U。

如此，不难得到， L = E 21 − 1 ⋅ E 31 − 1 ⋅ E 32 − 1 L=E_{21}^{-1}\cdot E_{31}^{-1}\cdot E_{32}^{-1} L=E21−1​⋅E31−1​⋅E32−1​，那么我们就可以得到 L L L为： L = [ 1 0 0 a 1 0 0 0 1 ] ⋅ [ 1 0 0 0 1 0 b 0 1 ] ⋅ [ 1 0 0 0 1 0 0 b / a 1 ] = [ 1 0 0 a 1 0 b b / a 1 ] L=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ a&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ b&0&1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&b/a&1\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ a&1&0\\ b&b/a&1\\ \end{bmatrix} L=⎣⎡​1a0​010​001​⎦⎤​⋅⎣⎡​10b​010​001​⎦⎤​⋅⎣⎡​100​01b/a​001​⎦⎤​=⎣⎡​1ab​01b/a​001​⎦⎤​

LU分解短视频 LU分解的快速求解—矩阵的LU分解步骤-待定系数法 2021-01-11