奇异矩阵能lu分解条件

2024-01-28 18:50| 来源: 网络整理| 查看: 265

（复习笔记，可能有点乱。夹杂着乱七八糟的英文，因为要用英文考试。）

（如果有误请一定要和我说！祝我final考个好成绩…）

目录： 特征值，特征向量，相似 (Eigenvalues, eigenvectors, similarity) 酉相似 & 酉等价 & 正规矩阵 (Unitary similarity & unitary equivalence & normal matrices) Jordan标准型，LU分解 (Jordan canonical form, LU factorization) Hermitian矩阵，相合 (Hermitian matrices, Congruences) 向量范数 & 矩阵范数 (Vector norms, matrix norms) Gersgorin圆盘 (Gersgorin discs) 正定矩阵 & 半正定矩阵 & 极分解 & 奇异值分解 (Positive definite & semidefinite & polar decomposition & SVD) 正矩阵 & 非负矩阵 (Positive / nonnegative matrices)

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辰晞：矩阵分析-期末复习笔记（下）zhuanlan.zhihu.com

1. 特征值，特征向量，相似 (Eigenvalues, eigenvectors, similarity) 特征值 Eigenvalue: spectral radius: absolute value of the largest eigenvalue 把A代进多项式，新的矩阵的特征值是，特征向量不变。注：这个命题necessary but not sufficient，不能用的特征值反推。 A和A转置有一样的特征值。如果则 相似 Similarity 相似前后特征值不变证明：相似后的特征向量：所以B的特征向量是 . 两个矩阵相似 if & only if 它们的Jordan canonical forms相等。 Similarity is an equivalence relation 对角化：diagonalizable A (nxn) must have n linearly independent eigenvectors. （i.e. 代数重数 = 几何重数）如果特征值都是不一样的，那么肯定可以对角化从不同的eigenspace中得到的eigenvector一定是linearly independent. Block diagonalizable: : C is diagonalizable if & only if A & B are diagonalizable. 同时对角化：Simultaneously diagonalizable Two matrices commute (AB = BA) if & only if they are simultaneously diagonalizable. 证明： (E, D are diagonal matrices, always commute) Note: 对于任意A, B，不管commute与否，AB &a

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