対数は、「指数とは異なり馴染みがなくて分かりにくい」「文字が沢山出てきてとっかかりにくい」と感じる人は多いでしょう。

対数関数は、応用問題が少ないため、基礎を固めておくことでほとんどの問題に対応できます。入試では文系学部でも毎年コンスタントに出題されています。この記事を読んで、対数関数をマスターしましょう！

なお、この記事では指数法則が頻繁にでてくるので、指数の計算が怪しい方は指数法則を解説したこちらの記事を先にチェックしてくださいね！

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【目次】

1.対数とは？logって？定義や公式、計算方法を伝授！ 　1-1.対数とは？：aを何乗したらｂになるかを表す 　1-2.logについて徹底解説！ 　1-3.logの重要公式11選 　1-4.logを用いた計算方法 2.対数関数とは？グラフを使って解説！ 3.対数関数に関する超重要問題３選 　3.1問題①〜対数方程式と対数不等式〜 　3.2問題②〜最大最小問題〜 　3.3問題③〜センター試験頻出！桁数問題と常用対数〜 4.【発展】対数関数の微分・積分法を紹介！(数学3の範囲)

まずは対数の定義について確認しましょう！

対数とは、”aを何乗したらbになるか”を表す数として定義されていますが、いまいちピンと来ませんね。

簡単な例で考えてみましょう。

2を3乗すると8になり、3を4乗すると81になります。

ここでいう「3」や「4」といった「何乗しているかを表す数」を対数と言います。

対数の概念は理解しづらいため、例を出しつつ解説していきます。

まず、aをX乗するとbとなると仮定しましょう(ax=b)。

先ほどの定義から、aをX乗したらbとなるためここでの対数はXとなります。

これを記号で表すとX=logabとなり、「aを底(てい)とするbの対数」と言います(logについている添え字のことを底、その右側の数字のことを真数と呼びます)。

つまり、正確に言うと2を底とする8の対数は3(2を3乗すると8)、2を底とする5の対数はlog25(2をlog25乗すると5)となりますね。

逆に考えると、2log25=5とも書くことができます(わかりにくいですが、定義からじっくり考えましょう)。

このように、logはどんな対数も表現できるすごい記号なんです！

こんな便利なlogですが使うときには注意が必要で、X=logabについて、底aは00も満たさなければなりません(真数条件と言います)。

この二つの条件は応用問題を解くときに欠かせない要素となってくるので、確実に覚えましょうね！

対数やlogにまつわる性質は重要なものが多く、それを一覧にしたものが以下の図です。

11個もあって覚えられない！と思う方もいるかもしれませんが、一つ一つ解説していくので安心してくださいね。

①logAAm=mについて

これは、(ア)底と真数が同じ値ならばその対数は1となる性質と、(イ)真数の指数はlogの前に出すことができる性質を利用したものです。

(ア)の例を挙げるとlog22=1となります。

どんな数を1乗しても値は変わりませんから当然ですね。

(イ)の例を挙げるとlog234=4log23となります。

真数に累乗がついていたら、それをlogの前に持ってこれるということですね！

②logAA=1

③logA1=0

④

この三つの性質はそれぞれ、1乗するとそのまま、0乗すると1になる、-1乗すると分数になるという性質からきていますね。

⑤logAMN=logAM+logAN

⑥

⑤、⑥の性質は非常に重要です。

logの真数が掛け算で表されていたらそれぞれ足し算に分けることができ、真数が割り算で表されていたらそれぞれ引き算に直すことができます。

証明は省略しますが、対数の計算などで非常によく出てくるので確実に押さえましょう！

⑦

これは③,⑥を応用したもので、

⑧logAMR=RlogAMについて

これは１で説明した、真数の累乗はlogの前に出せる性質を応用したものです。

⑨

これは

⑩

⑪

これらは、底の変換公式という非常に重要な公式です。

こちらも証明は省略しますが、この二つの式を使うと自由に底を変換できるので、計算問題などで大活躍しますよ！

以上11個の公式について説明してきましたが、logの定義と①⑤⑥⑩を押さえておけばどの式も導けるようになるので、各自で使い方などを練習してみてくださいね！

これまで対数の定義やlogの性質を学んできましたが、実際にlogが入った計算をしてみましょう！

logを含んだ計算の前提として、①：底と真数が等しいもの同士は足したり引いたりできること1の時(図はa=2)

今回はY=2XとY=log2Xの対数が２の時のグラフを表示しました。

a>1の時の指数関数、対数関数のグラフは、どちらとも単調に増加します。

②0 1/4となります。

以上より、この不等式の答えはx>4…答え

不等式の場合は、底が1より小さいか大きいかをまず見てください！

ここは非常にうっかりミスが多いポイントなので注意が必要です！

(4)不等式(log3x)2-log39x >0を解け。

(2)と同様に整理すると(log3x)2-log39x =(log3x)2-log39 -log3x =(log3x)2-2-log3x =(log3x +1)(log3x -2)>0となります。したがってlog3x 2より、

, となります。

ここでは底(3)が1より大きいので、真数条件に注意して

となりますね。 対数の問題②〜最大最小問題〜

二次関数でよく見た最大最小に関する問題です。

関数にlogが入ってくるだけで、基本的な考えは二次関数と同じですので問題演習を通して説明していきます。

問題：1≦x≦27の時関数y=(log3x)2-4(log3x)+6の最大・最小値を求めよ。

先ほどの問題と同様、置き換えを有効活用して丁寧に解きましょう！

解答：log3x =Aと置きます。すると関数はy=A2-4A+6となり、平方完成してy=(A-2)2+2となりますね。

こうなれば後は簡単、二次関数の最大最小問題と同じですね。

ここで、置換したのでAが取りうる範囲を考える必要があることに注意しましょう！

真数条件よりx>0、問題文より1≦x≦27から、xは1≦x≦27の範囲をとります。

したがって、Aはlog31≦ log3x (=A)≦ log327より0≦A≦3の範囲を取るとわかります(底は1より大きいので)。

すると、この問題は0≦A≦3において関数y=(A-2)2+2の最大・最小値を求めよ、と言い換えられますね。

これを解くとA=0で最大値6、A=2で最小値2となりました。

最後にAの変換を戻して、x=1で最大値6、x=9で最小値2を取るとわかります。…答え

この問題も対数方程式と同様に、対数logを何らかの文字で置き換え(範囲が変わることに注意！)、二次関数の最大最小問題に帰結させることが大切です！

対数の問題③〜センター試験頻出！桁数問題と常用対数〜

最後に、「常用対数」を扱った問題をやってみましょう！

常用対数とは底が10の対数(log10x)のことで、一般的にlog xの形で表され工学や理学などで頻繁に用いられます。

受験においては特にセンター試験頻出の「桁数を問う問題」を解く際に必要になってきます。

常用対数は底が10になるだけで、対数としての基本的な考え方は全く同じです。

早速常用対数を用いた問題を実際に解いてみましょう！

問題：log103=0.4771とする。このとき320は何桁の整数か。

320の桁数を求めるのは普通に計算して行ったらものすごく時間がかかりそうですよね。

こんなときは常用対数を使用すると簡単に求めることができます！

解答：log10320を考えましょう(①)。計算するとlog10320=20log103=20×0.4771=9.542となります。

したがって、logの定義から考えると109.542=320と表せますよね(②)。

つまり109