求切线过一点的切线点在曲线上点不在曲线上

直线 l 是函数 y=f(x) 过点 (a,b) 的切线，点 (a,b) 未必是切点，此时需设切点为 (x_0,f(x_0)).

若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1) 的切线，则 b= ___.

「解答」

两曲线的切点不确定，因此需要分别设出切点，然后分别求出每一条曲线的切线，最后说明这两条切线为同一条.

(1) 设 (x_1,2+ln x) 的切点，求导可得 y'=\frac{1}{x}, 切线的斜率 k=\frac{1}{x_1}, 可得切线方程为 y=\frac{1}{x_1}x+ln x_1+1.

(2) 设 (x_2,ln(x_2+1)) 为 y=ln(x+1) 的切点，求导得 y'=\frac{1}{x+1}, 切线的斜率为 k=\frac{1}{x_2+1}, 可得切线方程为 y=\frac{1}{x_2+1}x+\frac{1}{x_2+1}-1+ln(x_2+1).

联立可得 \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2+1}. \\ &ln x_1+1=\frac{1}{x_2+1}-1+ln(x_2+1). \end{aligned} \right. \Rightarrow x_1=\frac{1}{2} ,

\Rightarrow b=ln x_1+1+1=1-ln 2.

1.分离变量，构造函数

2.求导，根据图像确定参数的取值范围

例1 设函数 f(x)=ae^x+\cos{x}, 其中 a\in R.

\text {(I)} 若 a=1, 证明：当 x>0 时 ,f(x)>2;

\text{(II)} 若 f(x) 在区间 [0,\pi] 内有两个不同的零点，求 a 的取值范围.

「解答」

\text{(I)}\ f'(x)=e^x-\sin{x}>0,f(x) 在 (0,+\infty) 上为增函数 ,f(x)>f(0)=2, 即 f(x)>2.

(\text{II}) 由 f(x)=ae^x+\cos{x}=0, 得 a=-\frac{\cos x}{e^x}.

设函数 h(x)=-\frac{-\cos{x}}{e^x},x\in[0,\pi].

则 h'(x)=\frac{\sin{x}+\cos{x}}{e^x}.

所以 h(x) 在 (0,\frac{3\pi}{4}) 上单调递增，在 (\frac{3\pi}{4},\pi) 上单调递减.

又因为 h(0)=-1,h(\pi)=e^{-x},h(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3\pi}{4}},

所以当 a\in[e^x,\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3\pi}{4}}) 时，方程 a=-\frac{-\cos x}{e^x} 在区间 [0,\pi] 内有两个不同解.

故 a 的范围是 [e^x,\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3\pi}{4}}).

例2

[解答]

零点存在性问题可分为显零点（可以用参数表示极值）和隐零点（不能直接用参数表示极值）

已知函数 f(x)=\frac{x^2}{2}-klnx,k>0. 求证：若 f(x) 存在零点，则 f(x) 在区间 (1,\sqrt{e}] 中有且仅有一个零点.

本题属于显零点含参问题；

先考虑定义域： x\in(0,+\infty)

求导 ,f'(x)=x-k\cdot\frac{1}{x}=\frac{x^2-k}{x}

设函数 f(x)=ae^x+\cos{x}, 其中 a\in R.

\text {(I)} 若 a=1, 证明：当 x>0 时 ,f(x)>2;

\text{(II)} 若 f(x) 在区间 [0,\pi] 内有两个不同的零点，求 a 的取值范围.

设函数 f(x)=(x-1)e^x. 若关于 x 的不等式 f(x)

例2 已知函数 f(x)=\ln x+\sin x

\text{(I)} 求曲线 y=f(x) 在 (1,f(1)) 处的切线方程

\text{(II)} 求函数 f(x) 在区间 [1,e] 上的最小值

\text{(III)} 证明函数 f(x) 只有一个零点

「解答」

\text{(I)}f'(x)=1+\cos{x},f(1)=\sin 1,

则切线方程为 y=(1+\cos 1)x+\sin 1-\cos1-1

\text{(II)} 已知 f'(x)=\frac{1}{x}+\cos x, 在 [1,e] 上单调递减，且 f'(1)=1+\cos x>0,f'(e)=\frac{1}{e}+\cos e0,">f'(x)=\frac{1}{x}+\cos x>0, 则 f(x) 在 (0,1) 上单调递增，又因为 f(\frac{1}{e})=-1+\sin \frac{1}{e}0, 则函数 f(x) 在 (\frac{1}{e},1) 存在一个零点，即函数 f(x) 在定义域上只有一个零点.

例3

[解答]

例4

[解答]

解决导数问题一定不会脱离核心的四个步骤：

这四个步骤构成解决导数问题的基本框架，高考范围内，无论做哪类导数题都绝对不能脱离这四个步骤.

解一元一次不等式 ax>b, 其中 x\in[m,n], 先按 a>0,a=0 和 ax>0, 所以 1-2ax>0 恒成立，从而 g'(x)>0 恒成立，即函数 g(x) 在 (0,+\infty) 上单调递增.

(2) 当 a>0, 因为 g'(x)\geq 0\Leftrightarrow x\leq\frac{1}{2a}, 所以 g(x) 在 (0,\frac{1}{2a}] 上单调递增；因为 g'(x)\leq 0\Leftrightarrow x\geq\frac{1}{2a}, 所以 g(x) 在 (0 ,\frac{1}{2a}] 上单调递减.

例2 已知函数 f(x)=\sin(x)

\text {(I)} 判断函数 g(x)=f(x)-x 是否存在极值，并说明理由.

\text {(II)} 求证：当 0ax^2 在 x>0 时横成立.

［解答］

\text{(I)} 因为 f(0)=1,f(\pi)=-1.

所以函数 f(x) 的值域为 (-1,1).

\text{(II)} f'(x)=(x-a)\cos{x},

1) 当 \frac{\pi}{2}

函数 f(x) 的单调增区间为 (\frac{\pi}{2},a), 单调减区间为 (0,\frac{\pi}{2}),(a,\pi).

2) 当 a\ge \pi 时，有：

函数 f(x) 的单调增区间为 (\frac{\pi}{2},\pi), 单调减区间为 (0,\frac{\pi}{2}).

［解答］

由 f(x)=me^x-x^2+3=0, 得 m=\frac{x^2-3}{e^x}. 所以" f(x) 在 [-2,4] 上有两个零点" 等价于 "直线 y=m 与曲线 g(x)=\frac{x^2-3}{e^x},x\in[-2,4] 有且仅有两个公共点".[1]

对函数 g(x) 求导，得 g'(x)=\frac{-x^2+2x+3}{e^x}.

由 g'(x)=0, 解得 x_1=-1,x_2=3.

当x变化时， g'(x) 与 g(x) 的变化情况如下图所示：

所以 g'(x) 在 (-2,-1),(3,4) 上单调递减，在 (-1,3) 上单调递增.

又因为 g(-2)=e^2,g(-1)=-2e,g(3)=\frac{6}{e^3}g(-1).

所以当 -2e