高考对导数部分的考察有点极端，第一问简单易算，第二问对大部分同学来说就是劝退题。

其实，微积分是现代数学的标志之一，内容博大精深却又贴近现实，是大学数学学习的主要内容，高中阶段只能算是初识庐山。所以第一问算是一件见面礼，第二问就让大家感受下高山仰止的感觉。

第二问很难，有很多原因，

比如连题面意思都读不出来，

天津2013年第20题：已知 f(x)=x^2lnx ，证明对任意的t>0，存在唯一的s，使得t=f(s)；

比如各种恒成立问题的等价判定，

已知 f(x)=lnx+\frac{1}{4}x，g(x)=x^2-bx+4 ，若对任意的 x_{1}\in(0,2) ，存在 x_2\in[1,2] ，使得 f(x_1)\geq g(x_2) ，求b的范围。

还有，比如构造函数问题，比如与二次函数根的分布知识结合问题，比如多次求导问题等等。

我们在这里梳理清楚导数大题第二问经常考察的一些基本知识点，然后吃透这些基本知识点，以期再遇到大题第二问的时候不会望而却步。

这篇内容我们梳理这个知识点：函数f(x)=xlnx、f(x)=x^2lnx、f(x)=x^3lnx、f(x)=lnx/x的图像

总结梳理高考导数大题可以发现，经常会考察上面几个函数的性质。或者是一次求导或者二次求导后就是上面几个函数了。

如果能够迅速画出上述函数的图像，对于解答题目或者理解题目都有非常大帮助。

两点说明：

1）函数的凹凸性是大学里学的东西，简单的理解就是函数图像“向下凹"，还是“向上凸”。比如 y=x^2 的图像是向下凹，而 y=-x^2 的图像是向上凸。可以通过二次导数来确定：二次导数大于0，向下凹；二次导数小于0，向上凸。比如 y=x^2，y^{''}=2>0 ,则函数图像向下凹。

函数凹凸性在高中阶段不做要求，所以在描绘xlnx的图像时可以不考虑。但如果学有余力的话建议延伸学习，一方面可以加深对导数的理解，另一方面高考经常会考察大学里的一些知识点，而凹凸性是一个比较好考的点。

2）极限。也是大学的知识，是微积分和数学分析的精髓所在，高中阶段从字面理解就可以了。比如函数y=xlnx，当 x\rightarrow+\infty 时，xlnx是两个正无穷大相乘，结果自然趋向于正无穷大；当x\rightarrow0^{+} 时，lnx趋向于负无穷，而x趋向于0，两者相乘会是什么结果呢？这时就需要比较二者的“阶数”或者“趋势”了，用洛必达法则很容易求解： \lim_{x \rightarrow 0}{xlnx}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{lnx}{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{(lnx)'}{(\frac{1}{x})'}}=\lim_{x \rightarrow 0}{-x}=0

从而根据上述特殊点和单调性，可以绘制出函数的基本轮廓：

感兴趣的同学，可以自己推导这两个函数的图像。推导的过程也是非常好的锻炼过程。

我们回过头来看看最开始提到的题目：

已知函数f(x)= x^2lnx ,求证：对任意的t>0，存在唯一的s,使得t=f(s).

翻译成图像的语言是这样的：求证直线y=t与直线y=(x)在t>0时只有一个交点。

通过图像可以很直观的理解题目的意思，虽然对很多同学来说要组织严谨的论证过程还是很困难。但至少你可以用自己的语言来这样描述：函数y=f(x)在x>1时恒大于0，且单调递增，所以对于任意的t>0，都有唯一的x与之对应。

我想有上面这几句话，至少可以得到一半的分数了，因为标准答案的实质也就是这样的：