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极限(入门)
趋近……
有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形!
例子:
(x2 − 1) (x − 1) 求 x=1 的值: (12 − 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0 0/0 不好做!没有人知道 0/0 是多少(它是 "不确定的"),所以我们要另辟蹊径。 我们不直接求当 x=1 的值,我们 趋近 它来看看: 例子(续): x (x2 − 1) (x − 1) 0.5 1.50000 0.9 1.90000 0.99 1.99000 0.999 1.99900 0.9999 1.99990 0.99999 1.99999 …… ……现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候, (x2−1) (x−1) 越来越接近 2 这很有趣: 当 x=1,我们不知道答案(它是不确定的) 但我们也知道答案越来越接近 2我们想说:"答案就是 2",但我们不能这样说,所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况:"极限" 当 x 趋近 1 时, (x2−1) (x−1) 的极限 是 2 用符号来写就是: 我们可以这样理解: "不管在那里是什么,当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2" 在图上是这样的: 因此,实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。 但我们可以说:"趋近 1 时,极限是 2。" 两边都检验!就像想看山顶是什么样的…… ……如果我们只看山的一边,我们是看不到所有景象的。 所以我们需要从两个方向都检验,来确定答案 "应该" 是多少! 例子(续)好,我们从另一边来: x (x2 − 1) (x − 1) 1.5 2.50000 1.1 2.10000 1.01 2.01000 1.001 2.00100 1.0001 2.00010 1.00001 2.00001 ... ...也是趋近 2,所以没问题 两边的答案不一样如果函数 f(x) 有个"间隙",像这样: 极限在 "a" 处不存在 我们不能说在 "a" 的值是多少,因为有两个可能答案: 3.8 (从左边) 1.3 (从右边)我们可以用特定的 "−" 或 "+" 符号(如下)来为一边的极限下定义: 左边 的极限(−)是 3.8 右边 的极限(+)是 1.3但一般的极限"不存在" 只有复杂的函数才有极限吗?就算我们真的知道函数在一点的值,我们也可以用极限!不一定要是复杂的函数. 例子:我们知道 10/2 = 5,但我们仍然可以用极限(随你便!) 趋近无穷大 无穷大 是个很特别的概念。我们知道不能达到无穷大,但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。 我们先看一个有趣的例子。 问题:1∞ 的值是多少? 答案:不知道!为什么不知道? 简单的答案是:无穷大不是个数,它是个概念。 所以1∞ 就好像 1 美 or 1 高 一样。 我们也许可以说1∞= 0 …… 但这样也不对,因为如果我们把 1 切开成无穷多的小部分而每个部分是 0,那么整体怎么会是 1 呢? 其实1∞ 是 未定义的。 但我们可以趋近它!我们无法计算在无穷大的值(因为得不到合理的答案),我们尝试越来越大的 x值: x 1x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010当 x 越来越大时, 1 x 越来越接近 0 这很有意思: 我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么 但我们可以看到 1 x 趋近 0我们想说答案是 "0",但我们不可以,所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形: 当 x 趋近无穷大时,1 x 的 极限 是 0 写下来是: 换句话说: 当 x 趋近无穷大时, 1 x 趋近 0
当你看到 "极限" 时,想:"趋近"
这是用数学的语言来说:" 我们不是说当 x=∞,但我们知道当 x 越来越大时,答案便越来越接近 0"。 去这里看 在无穷大的极限。 解!这好像有点偷懒和取巧,说一个极限等于某个值因为它好像越来越接近那个值。 这是不够的! 去 极限求值 来了解更多 极限求值代数索引 |
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