学习凯哥——极限概念题，函数的连续性、渐近线、间断点的及做题的个人感想

一、最常用的方法——举反例

反例可以推翻错误结论，而不能证明正确结论

正确结论不能用特例代表。只能是验证。

1. f(x)=0

该常函数具有无穷小、收敛、有界的性质

无穷大与无穷小的关系：

如果一个函数极限为无穷大，它的倒数即为无穷小；

但一个函数极限为无穷小，在f(x)不为0的条件下，倒数才为无穷大。

2.分段函数

3.f(x)=n 单调，无界

可用于两函数相减，如f(x)=n+1/n, g(x)=n，同理，也可以取n的开根号项。

虽然它是夹逼准则，但如用上式给出的例子来推，反而夹逼准则推不出来。

4.作比较时，可取自身进行比较（针对选项）

此处就举例数列为常数 a,即可选出选项。

注意：数列应大于小于极限的整数，小于大于极限的整数。取C、D本身即可证明。

5.四则运算，构造因子

注意口诀：存在+存在=存在 | 存在+不存在=不存在 | 不存在+不存在 = 不一定

一、连续性

    证明：

    一个函数趋向某一点的极限等于该点的函数值

    涉及到是否要分左右极限，以下情况需要分左右极限：

    1.arctanx 趋向于无穷时，正负无穷取值不同。

    2.e的x次方，趋向于正无穷为无穷大，趋向于负无穷为0

    3.分段函数，例如带有绝对值的项

    不连续的情况：

    1.左右极限存在

    a.相同 —— 可去间断点

    b.不同 —— 跳跃间断点

    2.其中一个不存在

    a.趋于无穷 —— 无穷间断点

    b.振荡地趋于一个值，在无限靠近的过程中反复变化 —— 振荡间断点

    求带参数的函数是否连续时，按照左右极限是否相等来判断是否连续，例如：左右极限相等，则可能连续、为可去间断点[极限不等于函数值]

二、间断点

    找寻让函数不存在的点，通常出现在分母、绝对值中

    注意：如遇三角函数中存在有“不存在的点”，要多算几个点，通常第一个间断点与其他点的类别不同，并且三角函数的间断点是周期性的，有无穷多个。

三、渐近线

    不按照水平、竖直渐近线划分来找，而是：

    1. x 趋于 正无穷、趋于负无穷时的极限情况。 【找水平】

    2.找特殊值点（间断点）极限是否趋于无穷。【找竖直】

    3.找斜渐近线

    注：斜渐近线的求法在填空题里有巧法，如能将函数解析式化成f(x) = Ax+b+o(x)形式，那么斜渐近线就是f(x) = Ax+b。