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指数与对数
什么是指数?
一个数的指数代表把多少个 这个数 乘在一起。 例子: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 (3个 2 乘在一起得到 8) 什么是对数?对数与指数相反。 它是这个问题的答案:"什么指数会得到这个结果?": 这问题的答案是: 用以上的例子: 指数用 2 和 3 来得到 8 (2乘3次为8) 对数用 2 和 8 来得到 3 (2 成为 8,当把3个2乘在一起时)对数的意思是: 用几个 数与自己乘在一起会得到另一个数 所以对数的答案是指数: (去这里看看指数、根和对数的关系。) 一起用指数与对数时常用在一起,因为它们的效果是"相反"的(但底"a"要相同): 指数与对数互为"反函数" 先做一个,然后做另一个,就还原了: 取 ax,然后取对数,得回 x: 取对数,然后取 ax,得回 x:但光看名字不能猜到它们是相反的…… 你可以这样想:ax "向上",loga(x) "向下": 向上走,然后向下走,你回到原处:向下(向上p(x)) = x, 向下走,然后向上走,你回到原处:向上(向下(x)) = x无论如何,重点是: 指数函数可以"还原"对数函数的效果。. (反过来也一样) 看这个例子: 举例: log3(x) = 5,x 是什么?我们可以用以3为底的指数来"还原"对数: 开始 我们想"还原"对数以得到 "x =" 每边都用指数函数: 我们知道,所以: x = 35 答案: x = 243再来一个: 例子:y=log4(1/4),求 y 开始 每边都用指数函数: 简化: 4y = 1/4 小窍门:1/4 = 4-1 所以: 4y = 4-1 故此: y = -1 对数的特性对数的其中一个强大功能是把乘变成加。 loga( m × n ) = logam + logan "乘的对数是对数的和" 为什么是这样?看附注。用这特性和指数定律,我们得到以下有用的特性: loga(m × n) = logam + logan 乘的对数是对数的和 loga(m/n) = logam - logan 除乘的对数是对数的差 loga(1/n) = -logan 这是以上"除"特性的结果,因为 loga(1) = 0 loga(mr) = r ( logam ) m的r次幂 的对数 是 r 和 m的对数 的积记着:底 "a" 一定要相同! 历史: 以前没有计算器时,对数非常有用……例如,要乘两个很大的数,你可以用对数来把乘变为加(容易得多!) 以前甚至有专门为此而设的对数表书。 我们来玩玩: 例子:简化 loga( (x2+1)4√x ) 开始: loga( (x2+1)4√x ) 用 loga(mn) = logam + logan: loga( (x2+1)4 ) + loga( √x ) 用 loga(mr) = r ( logam ) : 4 loga(x2+1) + loga( √x ) 同时 √x = x½ : 4 loga(x2+1) + loga( x½ ) 再用 loga(mr) = r ( logam ) : 4 loga(x2+1) + ½ loga(x)不能再简化下去了……不能简化这个:loga(x2+1).
答案:4 loga(x2+1) + ½ loga(x) 注意:没有处理 loga(m+n) 或 loga(m−n)的规则 我们也可以"反过来"用对数的特性来组合对数: 例子:把loga(5) + loga(x) − loga(2) 变成一个对数: 开始: loga(5) + loga(x) − loga(2) 用 loga(mn) = logam + logan : loga(5x) − loga(2) 用 loga(m/n) = logam − logan : loga(5x/2)
答案:loga(5x/2) 自然对数和自然指数函数底是e("欧拉数" = 2.718281828459……)的对数叫: 自然对数 loge(x) 通常写为 ln(x) 自然指数函数 ex它们仍然可以互相还原: ln(ex) = x e(ln x) = x 这是它们的图: 自然对数 自然指数函数 f(x) = ln(x)的图 f(x) = ex的图穿过 (1,0) 和 (e,1) 穿过 (0,1) 和 (1,e) 它们是同一条曲线,不过x轴 和 y轴 对调了。 这也显示出它们是反函数。 在计算器上,自然对数是 "ln" 键。 你应该尽量使用自然对数和自然指数函数。 常用对数底是10的对数叫: 常用对数 log10(x),有时写为 log(x)工程师时常用到它,但数学里很少用。 在计算器上,常用对数是 "log" 键。 它的有用之处是告诉你数在十进制里 "有多大"(你要乘几个10)。 例子:计算 log10 10010 × 10 = 100,所以2个 10乘在一起的积是 100: log10 100 = 2 同样, log10 1,000 = 3,log10 10,000 = 4,依此类推。 例子:计算 log10 369这个最好用计算器的 "log" 键: log10 369 = 2.567…… 改变底如果我们想改变对数的底呢? 容易!用这个公式: "x 增大,a 减小" 你也可以把 logb a 作为 "转换因数"(公式如上): loga x = logb x / logb a 用这个公式,我们可以转换为任何的底。 另一个有用的特性是: loga x = 1 / logx a 看到 "x" 和 "a" 换位吗? 例子:计算 1 / log8 21 / log8 2 = log2 8 2 × 2 × 2 = 8,所以3个 2乘在一起的积是 8: 1 / log8 2 = log2 8 = 3
我们常用自然对数,所以最好记着: loga x = ln x / ln a 例子:计算 log4 22
我的计算器没有 "log4" 键…… ……但它有 "ln" 键。我们来用它:
log4 22 = ln 22 / ln 4 = 3.09.../1.39... = 2.23 (保留三位小数)
这答案的意思是什么?它的意思是 4的2.23次幂等于22。我们来检测: 检测:42.23 = 22.01(差不多了!) 再来一个例子: 例子:计算 log5 125log5 125 = ln 125 / ln 5 = 4.83.../1.61... = 3 (绝对精确)
我知道 5 × 5 × 5 = 125(3个 5 的积是 125),所以答案应该是 3。对了! 现实应用在现实世界里应用对数的实例: 地震地震的振幅是以对数尺度显示。 著名的"里氏地震规模"用这个公式: M = log10 A + B 其中: A 是地震仪测量的振幅(单位为毫米) B 是距离校正系数 现今有更复杂的公式,但都是用对数尺度。 声音响度的单位是分贝(简写为dB): 响度(dB) = 10 log10 (p × 1012) 其中 p 是声压 酸性的或碱性的酸性(或碱性)的测量单位是 pH: pH = −log10 [H+] 其中 H+ 是溶解的氢离子的摩尔浓度。 注意:在化学, [ ] 代表摩尔浓度(克/升)。 更多例子 例子:解 2 log8 x = log8 16 开始: 2 log8 x = log8 16 把 "2" 带进对数:: log8 x2 = log8 16 拿走对数(对数的底相同): x2 = 16 解: x = −4 or +4可是……可是……可是……不能有负数的对数! 所以 −4 的解是未定义的 答案:4 检验:用计算器来检验……也用 "-4"来试试看。 例子:解 e−w = e2w+6 开始: e−w = e2w+6 每边取 ln: ln(e−w) = ln(e2w+6) ln(ew)=w: −w = 2w+6 简化: −3w = 6 解: w = 6/−3 = −2答案:w = −2 检验:e−(−2)= e2 and e2(−2)+6=e2 附注:为什么 log(m × n) = log(m) + log(n)? 要知道为什么,我们需要用 and : 首先把 m 和 n 变成 "对数的指数":
然后用指数定律 最后把指数还原。 这是数学里时常用到的"高招":"这里做不行,我们就去那边做,然转换回来" 指数 对数 代数 2 索引 |
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