目录

1.电路的图

2.连通图的树与基本回路

3.平面图与网孔

4.电路的独立方程数及支路分析法

⑴独立方程数

⑵支路分析法

⑶支路电流法

5.电阻电路的分析方法总览

电路分析的典型问题是：给定电路的结构、元件的特性以及各独立电源的电压或电流，求出电路中所有（或指定部分）支路电压和支路电流。

对于不能通过等效变换进行分析和求解的较复杂电路，我们采用不改变电路结构，而依据“两类约束”（即以VAR表征的元件约束和以基尔霍夫定律规制的拓扑约束）建立独立方程组的系统求解方法。

以图论的研究方法来讨论电路的连接性质是非常有效的，它有助于我们选择电路独立变量，列写相应的独立方程并求解，对大规模复杂电路，则可用图论的方法写出电路的矩阵方程（邱关源《电路》第五版第15章），进而通过计算机辅助分析来求解。

如果将电路中各支路的具体元件忽略，代之以线段与结点连接，就形成了电路的“图”（相当于骨架）。电路中的结点和支路对应于图论中的顶点和边。

（以下概念及部分图例源于邱关源《电路》第五版第三章第一、二节）

⑴图（G）是具有给定连接关系的结点和支路的集合。支路的端点必须是结点，但是允许孤立结点的存在。

⑵赋予支路方向的图称为有向图（如图1所示），未赋予支路方向的图称为无向图。

⑶从一个图G的某一个结点出发，沿着一些支路移动而到达另一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图G的一条路径。

⑷当图G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，图G就称为连通图。图1所示是连通图。

图1 有向图

⑴连通图G的树T定义为：包含图G的全部结点且不包含任何回路的连通子图。即树的基本条件有：①是连通子图；②包含G的全部结点；③本身没有回路。

⑵属于树的支路称为树支。不属于树的支路称为连支。

⑶对于G的任意一个树，只加入一条连支形成的回路，称为单连支回路或基本回路。每个连支只在一个回路中出现，由连支形成的全部基本回路构成基本回路组。例如，对如图2(a)所示图G，取（1，4，5）为树（图2(b)中实线所示），则连支（图2(b)中虚线所示）为（2，3，6），对应于该树的基本回路是（1，3，5）、（1，2，4，5）和（4，5，6），如图2(d)、(c)、(e)所示。

图2 基本回路

⑷对于一个有b条支路、n个结点的连通图，树支数=n-1，连支数=b-n+1，基本回路数=连支数。选择了一个树，也就选定了基本回路组，例如图1所示的有向图，若选择图树（1，4，5），则基本回路组画在一张图中如图3(a)所示，若选择树（3，4，5），则基本回路组如图3(b)所示。

图3 基本回路组

可以画在一个平面上而不使任何两条支路交叉的图称为平面图，否则称为非平面图。例如图2(a)为平面图，而图4为非平面图。

图4 非平面图

平面图中每一个不含有（不跨越）其他支路的回路称为网孔，可以理解为一个自然的“孔”，全部网孔构成一个基本回路组，如图3(b)所示。

对一个具有 b条支路、n个结点的电路，对应于图的树支数和连支数，其KCL的独立方程数为n-1，可以选任意n-1个结点列写KCL独立方程组；KVL的独立方程数即基本回路数，为b-n+1，选择了一个树，就可列出由其确定的基本回路组对应的KVL独立方程组。

对一个具有 b条支路、n个结点的电路，以其支路电压和支路电流列写方程时，共有2b个电压、电流变量（最多有2b个未知量）。因拓扑约束可列KCL和KVL的独立方程总数为b，因元件约束可列VCR方程也为b个，因此，所列方程总数为2b个，刚好反映全部变量的约束关系，这就是基于“两类约束”的最基本的支路分析法，也称2b法，是所有其他分析方法的基础。

实际电路中，有一些支路电压或电流可能已知，所以实际方程数会少于2b，尽管如此，2b法可以进一步优化。例如，利用元件的VCR将支路电压以支路电流表示，就会列出n-1个KCL和b-n+1个以支路电流表示的KVL，共b个独立方程，这就是支路电流法。类似的，如果将支路电流用支路电压表示，可得到以支路电压为变量的b个方程，称为支路电压法。支路电流法和支路电压法统称为1b法。

以b个支路电流为变量列写b个方程并求解电路。列写支路电流方程的一般步骤为：

①选定各支路电流的参考方向；

②根据KCL对n-1个独立结点列写电流方程：

③选取b-n+1个独立回路，指定回路绕行方向，列写KVL方程。

式中，为回路中第k条支路的电阻上的电压，当参考方向与回路方向一致时，前面取“+”号，反之取“-”号。为第k条支路的电源电压，当与回路方向一致时，前面取“-”号，反之取“+”号（这是因为跟标准KVL方程相比，移到了等式右边）。

题1试求图5所示电路的电压u。

图5

解一：b=6，n=4，则独立回路数 l=b-n+1=3，各结点、独立回路和支路电流及其参考方向标注如图6所示，因已知两个支路电流，故只需列3个结点（图6中结点①、②、③）的KCL方程和1个回路（图6中实线所示回路III）的KVL方程。

图6

解得

注：因为本题不需要求，因此结点②的KCL方程也可以不列。

解二：设流过4Ω电阻的电流为I，根据KCL标注各支路电流，如图7所示，列写KVL方程

图7

 解得

题2求图8所示电路中各支路电流。

图8

解析：该电路有5条支路，2个独立结点，3个独立回路，采用支路电流法，理论上可列2个KCL方程和3个KVL方程，但因3A电流源已知，故实际只需要4个联立方程。如图9所示，列结点①、②的KCL和回路I、II的KVL，得

图9

解得

对线性电阻电路，一般分析方法还包括网孔电流法、回路电流法和结点电压法，它们充分利用图的特性，通过假设回路电流或结点电压，进一步减少了独立方程的数量，接下来几篇笔记将分别进行讨论。

表10列举了电阻电路的一般分析方法及其适用性，可对比学习和参照复习。

表10

方法

特点

所需联立方程来源

适用性

基本支路分析法（2b法）

同时求解支路电压、支路电流，比较灵活

KCL、KVL和支路VCR，共2b个联立方程。

“两类约束”是集总电路分析的基本依据，适用一切集总电路。

支路电流法

先求解支路电流

KCL和以支路电流表示的KVL，共b个联立方程。

不常用

支路电压法

先求解支路电压

KVL和以支路电压表示的KCL，共b个联立方程。

少用

网孔电流法

引用网孔电流（与支路电流有明确关系），自动满足KCL

以网孔电流表示的KVL，共m个方程(m