在前两篇文章（Mr.看海：时域分析——有量纲特征值含义一网打尽、Mr.看海：时域分析——无量纲特征值含义一网打尽）中提到了“矩”这个概念。例如期望是一阶矩，方差是二阶矩等等。要怎么理解“矩”这个概念呢？

说到“矩”，很容易想到物理学上的“力矩”，而“力矩=力臂×力”。我们从力矩开始说起。

首先我们来看一个例子：

这里有一个船舵，有三个船员都用力转动船舵，不过着手点力臂分别为 L_{1} 、 L_{2} 和 L_{3} 。那么平均力矩是多少？

a_{1}=\frac{F_{1}L_{1}+F_{2}L_{2}+F_{3}L_{3}}{3} (1)

有个问题，如果有个船员反向推动船舵，要怎样衡量大家用力的总能量呢？很简单，将力取平方。比如 F_{2} 对应的力方向相反，则平均能量可以写成：

a_{2}=\frac{(F_{1}{L_{1}})^2+(-F_{2}{L_{2}})^2+(F_{3}{L_{3}})^2}{3} (2)

（1）式即一阶原点矩，（2）式即二阶原点矩。所谓一阶二阶，指代的是力矩的阶数。前者衡量的是力矩的平均水平，后者衡量的是能量。所谓“原点”，是因为力矩的计算是指向船舵原点的，但既然有指向原点的“原点矩”，就有指向其他位置的矩，这种矩叫“中心矩”。

2.中心矩

这个“中心”，指的是哪里呢？是平均值。为了便于理解，我们将上述例子中的力取相等的F。且取 L_{1}=5l 、 L_{2}=6l 、 L_{3}=4l 。

那么“中心”指的就是 \frac{4Fl+5Fl+6Fl}{3}=5Fl ，画出来就是这样：

也就是图中的红圈，其代表的力矩是5Fl，这是中心矩计算里的“中心”，也就是力矩的平均值。

（1）那么一阶中心矩是：

m_{1}=\frac{(FL_{1}-\bar{FL})+(FL_{2}-\bar{FL})+(FL_{3}-\bar{FL})}{3}=0

是的，一阶中心矩一定等于零，所以你听到的中心矩一定是从二阶开始的。

（2）那么二阶中心矩是：

m_{2}=\frac{(F_{1}L_{1}-\bar{FL})^2+(F_{2}L_{2}-\bar{FL})^2+(F_{3}L_{3}-\bar{FL})^2}{3}

有没有觉得眼熟？是的，二阶中心矩就是方差。它衡量的是例子中，三个力矩的离散程度，这个可以直观地理解到。

（3）同理，三阶中心矩就是：

m_{3}=\frac{(F_{1}L_{1}-\bar{FL})^3+(F_{2}L_{2}-\bar{FL})^3+(F_{3}L_{3}-\bar{FL})^3}{3}

三阶中心矩也叫偏度，是的，跟我们之前文章里提到的“偏度因子”是有关的。要记住带“因子/系数”的都是无量纲的，怎样消除的量纲呢，也很简单，对于三阶中心矩，除以标准差的三次方，即可消除量纲。即：

K_{3}=\frac{m_{3}}{\sigma^{3}}

这里再一次印证了标准差的妙用，因为它的量纲与原物理量一致，常常用幂指数的方式消除量纲，上一篇文章中的相关系数也是用标准差消除量纲的。

（4）依旧同理，四阶中心矩就是：

m_{4}=\frac{(F_{1}L_{1}-\bar{FL})^4+(F_{2}L_{2}-\bar{FL})^4+(F_{3}L_{3}-\bar{FL})^4}{3}

四阶中心矩也叫峭度或者峰度。峭度因子是消除量纲后的峭度，方法是除以标准差的四次方。即：

K_{4}=\frac{m_{4}}{\sigma^{4}}

综合上述“原点矩”和“中心矩”的描述，其一般表达式分别为：

原点矩： a_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}^{k}}

中心矩： m_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\bar{X_{n}})}^{k}

好了，关于概率论中的“矩”的概念基本都介绍完了，下次在看到“几阶某某矩”不明白的时候可以找出这篇文章看一下，相信对你的理解能有所帮助。

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参考：

https://blog.csdn.net/huguozhiengr/article/details/81607637