一文详解自适应卡尔曼滤波（AUKF） |
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一文详解自适应卡尔曼滤波（AUKF）
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算法背景
卡尔曼滤波，包括其非线性改良的变种，比如扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF），都是基于对过程噪声和观测噪声的假设。这些假设包括噪声的统计性质，比如均值、协方差等。 关于卡尔曼滤波两处噪声的来源及影响，在我之前的文章中已经有所提及： 一文详解卡尔曼滤波两处噪声的来源及影响 然而在很多实际应用中，过程噪声和观测噪声的统计特性是未知的，甚至可能是随时间变化的。因此固定的过程噪声协方差Q和观测噪声协方差R可能并不适合所有情况。 为了解决这个问题，自适应卡尔曼滤波，也即Adaptive Unscented Kalman Filter (AUKF)被提出。AUKF尝试动态地调整过程噪声协方差Q和观测噪声协方差R，使得滤波器能够适应系统的实际行为。 算法概述及核心运算式 AUKF的主要步骤与标准的UKF类似，包括初始化、Sigma点选择、预测和更新。 只是AUKF在每次更新后，会进行一次调整步骤，通过观察预测误差来动态地更新过程噪声协方差Q和观测噪声协方差R。具体的更新规则可能因具体的应用而不同，但核心思想是，如果预测的协方差比实际的大，那么就需要减小噪声协方差，反之则需要增大。 以下是一个动态调整Q和R的基本公式： 其中： 示例及MATLAB代码 下面通过一个简单的例子来说明其核心思想： 假设我们正在跟踪一个运动目标的位置和速度，其运动是受到一些未知的随机扰动的。我们可以通过雷达来测量这个目标的位置（测量结果会受到随机噪声的影响）。在这个问题中，我们使用AUKF来估计目标的位置和速度。 以下是MATLAB代码： function [x, P, Q, R] = aukf(f, x, P, h, z, Q, R) % 自适应无迹卡尔曼滤波器 % % 输入: % f: 非线性状态方程 % x: "先验"状态估计 % P: "先验"估计状态协方差 % h: 测量方程 % z: 当前测量值 % Q: 过程噪声协方差 % R: 测量噪声协方差 % % 输出: % x: "后验"状态估计 % P: "后验"状态协方差 % Q: 调整后的过程噪声协方差 % R: 调整后的测量噪声协方差 n = length(x); % 状态维度 % Sigma点生成（这里使用简单的对称sigma点选择方法为例） X = [x, x*ones(1,n) + chol(P)', x*ones(1,n) - chol(P)']; % 时间更新（预测步） X = f(X); % 通过非线性函数f传播sigma点 x = mean(X, 2); % 传播后的状态均值 P_prev = P; % 保存先前的P用于自适应调整 P = cov(X') + Q; % 传播后的状态协方差 % 测量更新（校正步） Y = h(X); % 通过非线性函数h转换sigma点 y = mean(Y, 2); % 转换后的均值 Pyy = cov(Y') + R; % 转换后的协方差 Pxy = cov(X',Y); % 交叉协方差 K = Pxy / Pyy; % 卡尔曼增益 x = x + K * (z - y); % 更新后的状态均值 P = P - K * Pyy * K'; % 更新后的状态协方差 % 自适应调整 Q = Q * max(1, abs(diag(P - P_prev)) / diag(Q)); R = R * max(1, abs(z - h(x)) / diag(R)); end在这个示例中，f是一个描述目标运动的非线性函数，x是状态向量（包括位置和速度），P是状态协方差矩阵，h是描述雷达测量的非线性函数，z是雷达的测量值，Q是过程噪声协方差矩阵，R是测量噪声协方差矩阵。 需要注意，此代码中的Q和R调整步骤仅使用了简单的规则。在实际应用中，可能需要使用更复杂的规则来调整Q和R。 算法优缺点分析 优点： 适应性强：能够根据观测的一致性来动态调整过程和观测噪声的协方差，提高滤波器的性能。这使得AUKF能够适应变化的噪声条件，提高在这些条件下的估计精度。对非线性系统的适应性：与EKF相比，更好地处理了非线性系统的问题，因为它们不需要计算雅可比矩阵或进行线性化。（当然这个优点UKF本身也有）缺点： 计算复杂度：AUKF需要在每个时间步计算和更新噪声协方差矩阵，不太适用于对实时性要求较高的系统。稳定性问题：过度调整噪声协方差可能导致滤波器的不稳定。调参的难度：AUKF需要预先设置一些参数，如初始的噪声协方差矩阵和调整规则等。如何设置这些参数则可能需要通过试验来确定。总的来说，AUKF在UKF基础上进行了一定改良，特别适用于噪声特性变化的情况。然而，它也需要更多的计算资源，并需要谨慎地选择参数和调整规则。
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