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为了方便书写，求和符号 \sum_{}^{}{} 在数学中表示对一系列的数进行求和，其中包括以下三个部分 形如: \sum_{B}^{A}{C}

A部分 ： 求和上限

B部分 ： 求和下限 or 所求和的数的特征或性质

C部分 ： 求和内容

\star\star\star 求和符号是对求和内容的简写，不是运算！！！

最常见的例子： \sum_{i=1}^{n}{a_{i}} 其中 a_{i} 是一数列的通项公式， i=1 表示 a_{i} 中的 i 从1开始取值，一直取到 i=n ,再把每个项加起来。(注意：1.若把 i 称为求和变量，则求和变量的符号是可以随便取的，就如下面的例子。2.B部分若出现求和变量，则C部分要有对应的求和变量。3.这种写法默认 i 是整数。)

即： \sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}

例子： \sum_{n=1}^{4}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{4}{k^{2}}=\sum_{\theta=1}^{4}{\theta^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2} (写法多样)

C部分不用求和变量的例子：当C部分为常数时,例如 \sum_{i=1}^{666}{1}=666

另外，求和上限不仅可以是变量或具体的数，还可以是趋于无穷的： \sum_{n=1}^{\infty}{f(n)} ,这样的表示有个名称：无穷级数

下面介绍其它几种常用表示方法：

因为B部分还可以表示所求和的数的特征，所以在研究问题的过程中，为了体现求和数与研究的特定集合有关，我们引入这样一种写法。（同样为了方便）

例子：假设有集合A={t为奇数}，则若把A集合中所有数加起来，可写为： \sum_{t\in A}^{}{t}

这两种写法是一样的： \sum_{t\in A}^{}{t}=\sum_{n=0}^{\infty}{2n+1}

又如：

在已经规定 P 是素数集的情况下， \sum_{p\in P}^{}{p^{-1}} 可以简化为：\sum_{P}^{}{p^{-1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdot \cdot \cdot

没有规定可以直接写字： \sum_{p是素数}^{}{p}

在数论中, d|n 表示 d 能整除 n ，则 \sum_{d|n}^{}{d} 表示 n 的所有因数和

例子： \sum_{1\leq n \leq 4}^{}{G(n)} ,其中n是整数，则等价于 \sum_{n=1}^{4}{G(n)}

当然，求和变量可以有多个，如 \sum_{1\leq n,m \leq 2}^{}{F(n,m)}=F(1,1)+F(1,2)+F(2,1)+F(2,2) ( \alpha )

若 A_{n} 表示整数方程 x+y=n 正整数解得个数，则 A_{n}=\sum_{x+y=n}^{}{1}

意思是每当x,y取值满足该方程时求和就加一。

若是数的特征不方便用数学语言表示，则可以用文字描述。

直接看例子（新定义运算）： \sum_{m是“好数”}^{}{m}

类似上面多个求和变量：

\sum_{n=1}^{2}{}\sum_{m=1}^{2}{F(n,m)}=\sum_{m=1}^{2}{}\sum_{n=1}^{2}{F(n,m)} 与上面的（ \alpha ）是一样的

多个求和变量： \sum_{i=1}^{n}{}\sum_{j=1}^{m}{}\sum_{z=1}^{x}{}\sum_{w=1}^{y}{ijzw}

要是求和变量太多，写成范围的形式会更好： \sum_{1\leq x_{1},x_{2},x_{3} \cdot \cdot \cdot x_{i}\leq n}^{}{T(x_{1},x_{2},x_{3} \cdot \cdot \cdot x_{i}）}

轮番求和 ;\sum_{cyc}^{}{x^{2}y}=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x

对称求和： \sum_{sym}^{}{x^{2}y}=x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y

可以把以上多种表示写到一起： \sum_{1\leq n\leq 10,n\in P}^{}{n^{5}}

看看几个例子

求和符号的表示方法介绍到这里，其他大型符号如 \prod_{}^{}连乘\bigcap_{}^{}取多个集合交集\bigcup_{}^{}取多个集合并集

同理，只是在内容上的不同。

还是补充一下例子：

连乘符号： \prod_{k=1}^{n}f(k)=f(1)f(2)f(3) \cdot \cdot \cdot\cdot f(n)

交集： \bigcap_{l=3}^{6}A_{l}=A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}\cap A_{6} 其中A_{l} 是各个集合

并集： \bigcup_{s=1}^{n}[s,s+1]=[1,2]\cup[2,3]\cup[3,4]\cdot\cdot\cdot\cdot\cup[n,n+1]=[1,n+1]

（其中中括号表示闭区间）

余积：（范畴论概念）（来自百度）

析取与合取：（逻辑学中常用）

解答一下评论区的疑问：

1.求和表示：

\sum_{i=1}^{n}{a_{i}+b_{i}} 一般表示求和： \sum_{i=1}^{n}{\left( a_{i}+b_{i} \right)}

如我们常写为： f(x)=1+\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)x^{i}} 而不是 f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)x^{i}}+1 以免混淆

若有两个不同求和部分： f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)x^{i}}+\sum_{i=1}^{\infty}{\varphi(i)x^{i}} =\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)x^{i}+\varphi(i)x^{i}}=\sum_{i=1}^{\infty}{\left[ F(i)x^{i}+\varphi(i)x^{i} \right]}

2.关于求和符号运用中的提取问题：

\sum_{k=1}^{n}{A\omega(k)}+B\xi(k)=A\sum_{k=1}^{n}{\omega(k)}+B\sum_{k=1}^{n}{\xi(k)}

3.分析一下@smilegirl提供的例子：

个人认为 \mu\left( A \right) 是一个作用对象（自变量）为集合的函数

式子先前给定 N 个集合 A_{1} ~ A_{N}

其中求和B部分 N_{i}^{} (那一撇打不出)是 n 个不同的变量（取值为1~N之间的整数）

且这 n 个变量有大小关系。 \mu 函数中取 n 个集合的交集，这 n 个集合在给定集合中任取

总结来说：

就是取这 N 个集合中任意 n 个集合的交集的 \mu 函数值（总共有 C_{N}^{n} 个值,变量 N_{i} 各不相同与大小关系决定这 n 个集合是组合而不是排列）再逐项相加就是式子所表达的意思。

4.辨析

\sum_{1\leq x,y\leq n}^{}{1}=n^{2}表示 x 和 y 在 \left\{ i:1\leq i\leq n, \forall i,n\in N \right\} 都能取到(即两者地位相同)

而 \sum_{1\leq x

如果每个格表示1，则绿色部分表示 \sum_{1\leq x