参考摘录：https://www.zhihu.com/question/46877027/answer/542742130

高中时候都学过复数，复数表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i^2= -1,然后复数可以用x轴代表实数部，y轴代表虚部的复平面坐标系来表示，最后就是学各种复数运算。

但是什么是虚数？为什么虚数i^2= -1？复数又是怎么来的？什么是复平面？这些都没有解释，所以应用的时候有点小迷茫，最近研究四元数的时候涉及到复数相关的知识，就顺便把以前的这些疑问整理了一下。

虚数就是平方为-1的数，这是我们无法理解的，因为我们以往接触的数学知识里，不管是正数还是负数的平方都是正数，是不存在负数的，这其实是意识形态的问题，就像在早期数学里是没有负数的，数还只停留在可见可数的0、1、2、3....这种，有就有没有就没有，何来负数之说，后来发现有一些实际行为上的计算可以用负数来描述，这才引入了负数。

同样在这里我们不妨假设虚数存在，那么来求解i^2= -1，可以看做是1*i*i= -1，既然按照传统的乘法理解，实数轴上的1（A点）乘了两次一样的数，变成了符号相反的-1（B点）这样难以接受，我们不如将乘法理解成一种转换，实数轴上的1（A点）通过怎样的相同的两次转换能变成-1（B点）呢，答案就是旋转180度（正或负），每次转换就是旋转90度（正或负），我们且以逆时针旋转90度，代表一次转换即乘以虚数i。

当实数轴上的A点在变换到B点的过程中，首次旋转90度到达C点，坐标为1*i= i， 此时C点已经不在实数轴上，无法用之前的实数轴来描述，此时想要描述这个虚数就必须有一条类似于实数轴的虚数轴来描述它，因为C点的坐标为i，单位纯虚数，也就是说C点和原点所在的这条直线就是虚数的轴，以此便做出了虚数轴。

我们做出的虚数轴与之前存在的实数轴相交于原点，构成一个二维坐标系，此坐标系中落在横轴上的点为实数，落在纵轴上的点为虚数，那么落在坐标轴之外的其他点呢，我们发现，他们既有实数部又有虚数部，这些点就叫做复数，表示为a+bi，这个由实数轴和虚数轴构成的坐标系就叫做复数坐标系，这个复数坐标系所在的平面就叫做复平面。