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数据结构 - 二叉树 - 面试中常见的二叉树算法题
数据结构是面试中必定考查的知识点，面试者需要掌握几种经典的数据结构：线性表（数组、链表）、栈与队列、树（二叉树、二叉查找树、平衡二叉树、红黑树）、图。 本文主要介绍树中的常见的二叉树数据结构。包括 概念简介二叉树中树节点的数据结构（Java）二叉树的遍历（Java）常见的二叉树算法题（Java） 概念简介如果对二叉树概念已经基本掌握，可以跳过该部分，直接查看常见链表算法题。 二叉树基本概念二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。二叉树性质如下： 二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第 i 层至多有 2i−1 个结点。深度为 k 的二叉树至多有 2k−1 个结点。对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0 ，度为2的结点数为 n2 ，则 n0=n2+1 。一棵深度为k，且有 2k−1 个节点称之为满二叉树；深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。二叉树由一系列树结点组成，每个结点包括三个部分：一个是存储数据元素的数据域，另一个是存储左子结点地址的指针域，另一个是存储右子结点地址的指针域。 定义树节点为类：TreeNode。具体实现如下： public class TreeNode { public int val; // 数据域 public TreeNode left; // 左子树根节点 public TreeNode right; // 右子树根节点 public TreeNode() { } public TreeNode(int val) { this.val = val; } } 二叉树的遍历 1. 前序遍历递归解法： 如果二叉树为空，空操作如果二叉树不为空，访问根节点，前序遍历左子树，前序遍历右子树 /** * 1. 前序遍历 * 递归 * @param root 树根节点 */ public static void preorderTraversalRec(TreeNode root){ if (root == null) { return; } System.out.print(root.val + "->"); preorderTraversalRec(root.left); preorderTraversalRec(root.right); }非递归解法：用一个辅助stack，总是先把右孩子放进栈。 /** * 1. 前序遍历 * 非递归 * @param root 树根节点 */ public static void preorderTraversal2(TreeNode root) { if (root == null) { return; } Stack stack = new Stack(); // 辅助栈 TreeNode cur = root; while (cur != null || !stack.isEmpty()) { while (cur != null) { // 不断将左子节点入栈，直到cur为空 stack.push(cur); System.out.print(cur.val + "->"); // 前序遍历，先打印当前节点在打印左子节点，然后再把右子节点加到栈中 cur = cur.left; } if (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空，弹出栈元素 cur = stack.pop(); // 此时弹出最左边的节点 cur = cur.right; // 令当前节点为右子节点 } } } /** * 1. 前序遍历 * 非递归解法2 * @param root 树根节点 */ public static void preorderTraversal(TreeNode root) { if (root == null) { return; } Stack stack = new Stack(); // 辅助栈保存树节点 stack.add(root); while (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空 TreeNode temp = stack.pop(); System.out.print(temp.val + "->"); // 先根节点，因为是前序遍历 if (temp.right != null) { // 先添加右孩子，因为栈是先进后出 stack.add(temp.right); } if (temp.left != null) { stack.add(temp.left); } } } 2. 中序遍历递归解法： 如果二叉树为空，空操作如果二叉树不为空，中序遍历左子树，访问根节点，中序遍历右子树 /** * 2. 中序遍历 * 递归 * @param root 树根节点 */ public static void inorderTraversalRec(TreeNode root){ if (root == null) { return; } inorderTraversalRec(root.left); System.out.print(root.val + "->"); inorderTraversalRec(root.right); }非递归解法：用栈先把根节点的所有左孩子都添加到栈内，然后输出栈顶元素，再处理栈顶元素的右子树。 /** * 2. 中序遍历 * 非递归 * @param root 树根节点 */ public static void inorderTraversal(TreeNode root) { if (root == null) { return; } Stack stack = new Stack(); // 辅助栈 TreeNode cur = root; while (cur != null || !stack.isEmpty()) { while (cur != null) { // 不断将左子节点入栈，直到cur为空 stack.push(cur); cur = cur.left; } if (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空，弹出栈元素 cur = stack.pop(); // 此时弹出最左边的节点 System.out.print(cur.val + "->"); // 中序遍历，先打印左子节点在打印当前节点，然后再把右子节点加到栈中 cur = cur.right; // 令当前节点为右子节点 } } } 3. 后序遍历递归解法： 如果二叉树为空，空操作如果二叉树不为空，后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根节点 /** * 3. 后序遍历 * 递归 * @param root 树根节点 */ public static void postorderTraversalRec(TreeNode root){ if (root == null) { return; } postorderTraversalRec(root.left); postorderTraversalRec(root.right); System.out.print(root.val + "->"); }非递归解法：双栈法。 /** * 3. 后序遍历 * 非递归 * @param root 树根节点 */ public static void postorderTraversal(TreeNode root) { if(root == null) { return; } Stack stack1 = new Stack(); // 保存树节点 Stack stack2 = new Stack(); // 保存后序遍历的结果 stack1.add(root); while (!stack1.isEmpty()) { TreeNode temp = stack1.pop(); stack2.push(temp); // 将弹出的元素加到stack2中 if (temp.left != null) { // 左子节点先入栈 stack1.push(temp.left); } if (temp.right != null) { // 右子节点后入栈 stack1.push(temp.right); } } while (!stack2.isEmpty()) { System.out.print(stack2.pop().val + "->"); } } 4. 层次遍历思路：分层遍历二叉树（按层次从上到下，从左到右）迭代，相当于广度优先搜索，使用队列实现。队列初始化，将根节点压入队列。当队列不为空，进行如下操作：弹出一个节点，访问，若左子节点或右子节点不为空，将其压入队列。 /** * 4. 层次遍历 * @param root 根节点 */ public static void levelTraversal(TreeNode root){ if(root == null) { return; } Queue queue = new LinkedList(); // 对列保存树节点 queue.add(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode temp = queue.poll(); System.out.print(temp.val + "->"); if (temp.left != null) { // 添加左右子节点到对列 queue.add(temp.left); } if (temp.right != null) { queue.add(temp.right); } } } 常见的二叉树算法题 1. 求二叉树中的节点个数递归解法： O(n) 如果二叉树为空，节点个数为0如果二叉树不为空，二叉树节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1 /** * 1. 求二叉树中的节点个数 * 递归 * @param root 树根节点 * @return 节点个数 */ public static int getNodeNumRec(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } return getNodeNumRec(root.left) + getNodeNumRec(root.right) + 1; }非递归解法： O(n) 。基本思想同LevelOrderTraversal。即用一个Queue，在Java里面可以用LinkedList来模拟。 /** * 1. 求二叉树中的节点个数 * 非递归 * @param root 树根节点 * @return 节点个数 */ public static int getNodeNum(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } Queue queue = new LinkedList(); // 用队列保存树节点，先进先出 queue.add(root); int count = 1; // 节点数量 while (!queue.isEmpty()) { TreeNode temp = queue.poll(); // 每次从对列中删除节点，并返回该节点信息 if (temp.left != null) { // 添加左子孩子到对列 queue.add(temp.left); count++; } if (temp.right != null) { // 添加右子孩子到对列 queue.add(temp.right); count++; } } return count; } 2. 求二叉树的深度（高度）递归解法： O(n) 如果二叉树为空，二叉树的深度为0如果二叉树不为空，二叉树的深度 = max(左子树深度， 右子树深度) + 1 /** * 求二叉树的深度（高度） * 递归 * @return 树的深度 */ public static int getDepthRec(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } return Math.max(getDepthRec(root.left), getDepthRec(root.right)) + 1; }非递归解法： O(n) 。基本思想同LevelOrderTraversal。即用一个Queue，在Java里面可以用LinkedList来模拟。 /** * 求二叉树的深度（高度） * 非递归 * @param root 树根节点 * @return 树的深度 */ public static int getDepth(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } int currentLevelCount = 1; // 当前层的节点数量 int nextLevelCount = 0; // 下一层节点数量 int depth = 0; // 树的深度 Queue queue = new LinkedList(); // 对列保存树节点 queue.add(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode temp = queue.remove(); // 移除节点 currentLevelCount--; // 当前层节点数减1 if (temp.left != null) { // 添加左节点并更新下一层节点个数 queue.add(temp.left); nextLevelCount++; } if (temp.right != null) { // 添加右节点并更新下一层节点个数 queue.add(temp.right); nextLevelCount++; } if (currentLevelCount == 0) { // 如果是该层的最后一个节点，树的深度加1 depth++; currentLevelCount = nextLevelCount; // 更新当前层节点数量并且重置下一层节点数量 nextLevelCount = 0; } } return depth; } 3. 求二叉树第k层的节点个数递归解法： O(n) 思路：求以root为根的k层节点数目，等价于求以root左孩子为根的k-1层（因为少了root）节点数目 加上以root右孩子为根的k-1层（因为 少了root）节点数目。即： 如果二叉树为空或者k1，返回root左子树中k-1层的节点个数与root右子树k-1层节点个数之和 /** * 求二叉树第k层的节点个数 * 递归 * @param root 根节点 * @param k 第k个节点 * @return 第k层节点数 */ public static int getNodeNumKthLevelRec(TreeNode root, int k) { if (root == null || k < 1) { return 0; } if (k == 1) { return 1; } return getNodeNumKthLevelRec(root.left, k - 1) + getNodeNumKthLevelRec(root.right, k - 1); } 4. 求二叉树中叶子节点的个数递归解法： 如果二叉树为空，返回0如果二叉树是叶子节点，返回1如果二叉树不是叶子节点，二叉树的叶子节点数 = 左子树叶子节点数 + 右子树叶子节点数 /** * 4. 求二叉树中叶子节点的个数 * 递归 * @param root 根节点 * @return 叶子节点个数 */ public static int getNodeNumLeafRec(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } if (root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getNodeNumLeafRec(root.left) + getNodeNumLeafRec(root.right); }非递归解法：基于层次遍历进行求解，利用Queue进行。 /** * 4. 求二叉树中叶子节点的个数（迭代） * 非递归 * @param root 根节点 * @return 叶子节点个数 */ public static int getNodeNumLeaf(TreeNode root){ if (root == null) { return 0; } int leaf = 0; // 叶子节点个数 Queue queue = new LinkedList(); queue.add(root); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode temp = queue.poll(); if (temp.left == null && temp.right == null) { // 叶子节点 leaf++; } if (temp.left != null) { queue.add(temp.left); } if (temp.right != null) { queue.add(temp.right); } } return leaf; } 5. 判断两棵二叉树是否相同的树递归解法： 如果两棵二叉树都为空，返回真如果两棵二叉树一棵为空，另外一棵不为空，返回假如果两棵二叉树都不为空，如果对应的左子树和右子树都同构返回真，其他返回假 /** * 5. 判断两棵二叉树是否相同的树。 * 递归 * @param r1 二叉树1 * @param r2 二叉树2 * @return 是否相同 */ public static boolean isSameRec(TreeNode r1, TreeNode r2) { if (r1 == null && r2 == null) { // 都是空 return true; } else if (r1 == null || r2 == null) { // 有一个为空，一个不为空 return false; } if (r1.val != r2.val) { // 两个不为空，但是值不相同 return false; } return isSameRec(r1.left, r2.left) && isSameRec(r1.right, r2.right); // 递归遍历左右子节点 }非递归解法：利用Stack对两棵树对应位置上的节点进行判断是否相同。 /** * 5. 判断两棵二叉树是否相同的树（迭代） * 非递归 * @param r1 二叉树1 * @param r2 二叉树2 * @return 是否相同 */ public static boolean isSame(TreeNode r1, TreeNode r2){ if (r1 == null && r2 == null) { // 都是空 return true; } else if (r1 == null || r2 == null) { // 有一个为空，一个不为空 return false; } Stack stack1 = new Stack(); Stack stack2 = new Stack(); stack1.add(r1); stack2.add(r2); while (!stack1.isEmpty() && !stack2.isEmpty()) { TreeNode temp1 = stack1.pop(); TreeNode temp2 = stack2.pop(); if (temp1 == null && temp2 == null) { // 两个元素都为空，因为添加的时候没有对空节点做判断 continue; } else if (temp1 != null && temp2 != null && temp1.val == temp2.val) { stack1.push(temp1.left); // 相等则添加左右子节点判断 stack1.push(temp1.right); stack2.push(temp2.left); stack2.push(temp2.right); } else { return false; } } return true; } 6. 判断二叉树是不是平衡二叉树递归实现：借助前面实现好的求二叉树高度的函数 如果二叉树为空， 返回真如果二叉树不为空，如果左子树和右子树都是AVL树并且左子树和右子树高度相差不大于1，返回真，其他返回假 /** * 6. 判断二叉树是不是平衡二叉树 * 递归 * @param root 根节点 * @return 是否二叉平衡树（AVL树） */ public static boolean isAVLTree(TreeNode root) { if (root == null) { return true; } if (Math.abs(getDepth(root.left) - getDepth(root.right)) > 1) { // 左右子树高度差大于1 return false; } return isAVLTree(root.left) && isAVLTree(root.right); // 递归判断左右子树 } 7. 求二叉树的镜像递归实现：破坏原来的树，把原来的树改成其镜像 如果二叉树为空，返回空如果二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左右子树 /** * 7. 求二叉树的镜像 * 递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */ public static TreeNode mirrorRec(TreeNode root) { if (root == null) { return root; } TreeNode left = mirrorRec(root.right); // 递归镜像左右子树 TreeNode right = mirrorRec(root.left); root.left = left; // 更新根节点的左右子树为镜像后的树 root.right = right; return root; }递归实现：不能破坏原来的树，返回一个新的镜像树 如果二叉树为空，返回空如果二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左右子树 /** * 7. 求二叉树的镜像 * 递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */ public static TreeNode mirrorCopyRec(TreeNode root) { if (root == null) { return root; } TreeNode newRoot = new TreeNode(root.val); // 创建新节点，然后交换左右子树 newRoot.left = mirrorCopyRec(root.right); newRoot.right = mirrorCopyRec(root.left); return newRoot; }非递归实现：破坏原来的树，把原来的树改成其镜像 /** * 7. 求二叉树的镜像 * 非递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */ public static void mirror(TreeNode root) { if (root == null) { return ; } Stack stack = new Stack(); stack.push(root); while (!stack.isEmpty()){ TreeNode cur = stack.pop(); // 交换左右孩子 TreeNode tmp = cur.right; cur.right = cur.left; cur.left = tmp; if(cur.right != null) { stack.push(cur.right); } if (cur.left != null) { stack.push(cur.left); } } }非递归实现：不能破坏原来的树，返回一个新的镜像树 /** * 7. 求二叉树的镜像 * 非递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */ public static TreeNode mirrorCopy(TreeNode root) { if (root == null) { return null; } Stack stack = new Stack(); Stack newStack = new Stack(); stack.push(root); TreeNode newRoot = new TreeNode(root.val); newStack.push(newRoot); while (!stack.isEmpty()) { TreeNode cur = stack.pop(); TreeNode newCur = newStack.pop(); if (cur.right != null) { stack.push(cur.right); newCur.left = new TreeNode(cur.right.val); newStack.push(newCur.left); } if (cur.left != null) { stack.push(cur.left); newCur.right = new TreeNode(cur.left.val); newStack.push(newCur.right); } } return newRoot; } 8. 判断两个二叉树是否互相镜像递归解法：与比较两棵二叉树是否相同解法一致（题5），非递归解法省略。 比较r1的左子树的镜像是不是r2的右子树比较r1的右子树的镜像是不是r2的左子树 /** * 8. 判断两个树是否互相镜像 * @param r1 二叉树 1 * @param r2 二叉树 2 * @return 是否互相镜像 */ public static boolean isMirrorRec(TreeNode r1, TreeNode r2) { if (r1 == null && r2 == null) { return true; } else if (r1 == null || r2 == null) { return false; } if (r1.val != r2.val) { return false; } // 递归比较r1的左子树的镜像是不是r2右子树 // 和r1的右子树的镜像是不是r2的左子树 return isMirrorRec(r1.left, r2.right) && isMirrorRec(r1.right, r2.left); } 9. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点递归解法： 如果两个节点分别在根节点的左子树和右子树，则返回根节点如果两个节点都在左子树，则递归处理左子树；如果两个节点都在右子树，则递归处理右子树 /** * 9. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点 * 递归 * @param root 树根节点 * @param n1 第一个节点 * @param n2 第二个节点 * @return 最低公共祖先节点 */ public static TreeNode getLastCommonParentRec(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) { if (findNodeRec(root.left, n1)) { // 如果n1在左子树 if (findNodeRec(root.right, n2)) { // 如果n2在右子树 return root; // 返回根节点 } else { // 如果n2也在左子树 return getLastCommonParentRec(root.left, n1, n2); // 递归处理 } } else { // 如果n1在右子树 if (findNodeRec(root.left, n2)) { // 如果n2在左子树 return root; // 返回根节点 } else { // 如果n2在右子树 return getLastCommonParentRec(root.right, n1, n2); // 递归处理 } } } /** * 递归判断一个点是否在树里 * @param root 根节点 * @param node 查找的节点 * @return 是否找到该节点 */ private static boolean findNodeRec(TreeNode root, TreeNode node) { if (node == null || root == null) { return false; } if (root == node) { return true; } // 先尝试在左子树中查找 boolean found = findNodeRec(root.left, node); if (!found) { // 如果查找不到，再在右子树中查找 found = findNodeRec(root.right, node); } return found; } /** * 9. 树中两个节点的最低公共祖先节点 * 递归解法2（更简单） * @param root 树根节点 * @param n1 第一个节点 * @param n2 第二个节点 * @return 最低公共祖先节点 */ public static TreeNode getLastCommonParentRec2(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) { if (root == null) { return null; } // 如果有一个match，则说明当前node就是要找的最低公共祖先 if (root.equals(n1) || root.equals(n2)) { return root; } TreeNode commonLeft = getLastCommonParentRec2(root.left, n1, n2); TreeNode commonRight = getLastCommonParentRec2(root.right, n1, n2); // 如果一个在左子树找到，一个在右子树找到，则说明root是唯一可能得最低公共祖先 if (commonLeft != null && commonRight != null) { return root; } // 其他情况是要不然在左子树要不然在右子树 if (commonLeft != null) { return commonLeft; } return commonRight; }非递归算法：得到从二叉树根节点到两个节点的路径，路径从头开始的最后一个公共节点就是它们的最低公共祖先节点 /** * 9. 树中两个节点的最低公共祖先节点 * 非递归 * @param root 树根节点 * @param n1 第一个节点 * @param n2 第二个节点 * @return 第一个公共祖先节点 */ public static TreeNode getLastCommonParent(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) { if (root == null || n1 == null || n2 == null) { return null; } ArrayList p1 = new ArrayList(); boolean res1 = getNodePath(root, n1, p1); ArrayList p2 = new ArrayList(); boolean res2 = getNodePath(root, n2, p2); if (!res1 || !res2) { return null; } TreeNode last = null; Iterator iter1 = p1.iterator(); Iterator iter2 = p2.iterator(); while (iter1.hasNext() && iter2.hasNext()) { TreeNode tmp1 = iter1.next(); TreeNode tmp2 = iter2.next(); if (tmp1 == tmp2) { last = tmp1; } else { // 直到遇到非公共节点 break; } } return last; } /** * 把从根节点到node路径上所有的点都添加到path中 * @param root 树根节点 * @param node 终点节点 * @param path 路径 * @return 是否是目标节点 */ public static boolean getNodePath(TreeNode root, TreeNode node, ArrayList path) { if (root == null) { return false; } path.add(root); // 把这个节点添加到路径中 if (root == node) { return true; } boolean found = false; found = getNodePath(root.left, node, path); // 先在左子树中找 if (!found) { found = getNodePath(root.right, node, path); } if (!found) { // 如果实在没找到证明这个节点不在路径中，删除刚刚那个节点 path.remove(root); } return found; } 10. 判断是否为二分查找树BST递归解法：中序遍历的结果应该是递增的。 /** * 10. 判断是否为二分查找树BST * @param root 根节点 * @param pre 上一个保存的节点 * @return 是否为BST树 */ public static boolean isValidBST(TreeNode root, int pre){ if (root == null) { return true; } boolean left = isValidBST(root.left, pre); if (!left) { return false; } if(root.val |
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