线性代数之矩阵秩的求法与示例详解 |
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线性代数之矩阵秩的求法与示例详解
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大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 线性代数之矩阵秩的求法 K阶子式的定义在m×n的矩阵A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于这些行和列交叉处的 个元素，在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。 不难发现矩阵A有个  https://img-blog.csdnimg.cn/20210306203127695.png个k阶子式。 比如有矩阵A  https://img-blog.csdnimg.cn/20210816151222913.png比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 ：  https://img-blog.csdnimg.cn/2021081615135032.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoZW5saWFuZzE5ODU=,size_16,color_FFFFFF,t_70即其中的一个2阶子式是：  https://img-blog.csdnimg.cn/20210816151411415.png矩阵秩的定义设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点： R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩r(A) < min{m,n}则叫做降秩A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0矩阵A（m乘n阶）左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。对矩阵实施(行、列）初等变换不改变矩阵的秩阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。A的秩等于A转置的秩任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变矩阵秩的求法定义法该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。 #Sample1（示例一），求下列矩阵的秩： A=  线性代数之矩阵秩的求法与示例详解针对矩阵A，我们先找它的一个3阶子式看看是否为0，比如我们找的是  线性代数之矩阵秩的求法与示例详解很显然该三阶子式等于-1≠0，所以该矩阵的秩是3。 因为当前矩阵没有4阶子式子，所以3是该矩阵的最高阶。 #Sample2（示例二）：已知矩阵A  线性代数之矩阵秩的求法与示例详解，如果R(A) |
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