虽然深度学习方法(1D CNN, RNN, LSTM 等)可以直接处理一维数据，但是当前的深度学习方法主要还是处理二维结构数据的，特别是在计算机视觉CV以及自然语言处理NLP领域，各种各样的方法层出不穷。因此，如果能够将一维序列数据转化为二维(图像)数据, 则可以直接结合CV以及NLP领域的方法，是不是很有趣！

将缩放后的1D序列数据从直角坐标系统转换到极坐标系统，然后通过考虑不同点之间的角度和/差以识别不同时间点的时间相关性。取决于是做角度和还是角度差，有两种实现方法：GASF(对应做角度和), GADF(对应做角度差)。

Step 1：缩放，将数据范围缩放到[-1,1]或者[0, 1], 公式如下： Step 2: 将缩放后的序列数据转换到极坐标系统，即将数值看作夹角余弦值，时间戳看作半径，公式如下： 注： 若数据缩放范围为[-1, 1],则转换后的角度范围为[0, π \pi π]；若缩放范围为[0, 1]，则转换后的角度范围为[0, π \pi π/2]。 Step 3: 可以看到，最终GASF和GADF的计算转化到直角坐标系下变成了“类似”内积的操作。

效率问题：对于长度为n的序列数据，转换后的GAFs尺寸为[n, n]的矩阵，可以采用PAA(分段聚合近似)先将序列长度减小，然后在转换。 所谓的PAA就是：将序列分段，然后通过平均将每个段内的子序列压缩为一个数值, 简单吧！

Python工具包pytl中已经提供了API，另外，笔者自行实现代码, 想要查看实现细节以及获取更多测试用例，可从我的 链接获取。

结果如下图所示： 缩放后的序列数据以及在极坐标系统的表示： 转换后的GASF和GADF:

基于1阶马尔可夫链，由于马尔科夫转移矩阵对序列的时间依赖并不敏感，因此作者考虑了时间位置关系提出了所谓的MTF。

Step 1: 首先将序列数据(长度为n)按照其取值范围划分为Q个bins (类似于分位数), 每个数据点 i 属于一个唯一的qi ( ∈ \in ∈ {1,2, …, Q}). Step 2: 构建马尔科夫转移矩阵W，矩阵尺寸为：[Q, Q]， 其中W[i，j]由qi中的数据被qj中的数据紧邻的频率决定，其计算公式如下： w i , j = ∑ ∀ x ∈ q i , y ∈ q j , x + 1 = y 1 / ∑ j = 1 Q w i , j w_{i,j}=\sum_{\forall x \in q_{i}, y \in q_{j},x+1=y}1/\sum_{j=1}^{Q}w_{i,j} wi,j​=∑∀x∈qi​,y∈qj​,x+1=y​1/∑j=1Q​wi,j​ Step 3:构建马尔科夫变迁场M, 矩阵尺寸为：[n, n], M[i,j]的值为W[qi, qj] 效率问题：原因与GAFs类似，为了提高效率，设法减小M的尺寸，思路与PAA类似，将M网格化，然后每个网格中的子图用其平均值替代。

Python工具包pytl中已经提供了API，API接口参考：https://pyts.readthedocs.io/en/latest/generated/pyts.image.MarkovTransitionField.html。另外，笔者自行实现代码, 想要查看实现细节以及获取更多测试用例，可从我的 github 链接获取。

结果如图所示：

递归图(recurrence plot，RP)是分析时间序列周期性、混沌性以及非平稳性的一个重要方法，用它可以揭示时间序列的内部结构，给出有关相似性、信息量和预测性的先验知识，递归图特别适合短时间序列数据，可以检验时间序列的平稳性、内在相似性。

递归图是表示从原始时间序列提取的轨迹之间的距离的图像 给定时间序列数据: ( x 1 , … , x n ) (x_1, \ldots, x_n) (x1​,…,xn​),提取到的轨迹为： x ⃗ i = ( x i , x i + τ , … , x i + ( m − 1 ) τ ) , ∀ i ∈ { 1 , … , n − ( m − 1 ) τ } \vec{x}_i = (x_i, x_{i + \tau}, \ldots, x_{i + (m - 1)\tau}), \quad \forall i \in \{1, \ldots, n - (m - 1)\tau \} x i​=(xi​,xi+τ​,…,xi+(m−1)τ​),∀i∈{1,…,n−(m−1)τ} 其中： m m m是轨迹的维数， τ \tau τ是时延。 递归图R是轨迹之间的成对距离，计算如下： R i , j = Θ ( ε − ∥ x ⃗ i − x ⃗ j ∥ ) , ∀ i , j ∈ { 1 , … , n − ( m − 1 ) τ } R_{i, j} = \Theta(\varepsilon - \| \vec{x}_i - \vec{x}_j \|), \quad \forall i,j \in \{1, \ldots, n - (m - 1)\tau \} Ri,j​=Θ(ε−∥x i​−x j​∥),∀i,j∈{1,…,n−(m−1)τ} 其中， Θ \Theta Θ为Heaviside函数，而 ε \varepsilon ε 是阈值。

结果如图：

STFT可看作一种量化非平稳信号的频率和相位含量随时间变化的方式。.

通过添加窗函数（窗函数的长度是固定的），首先对时域信号加窗，通过滑动窗口的方式将原始时域信号分割为多个片段，然后对每一个片段进行FFT变换，从而得到信号的时频谱（保留了时域信息）。

假设序列的长度为 T T T, τ \tau τ为窗口窗口长度, s s s为滑动步长，W表示窗函数, 则STFT可以计算为：

S T F T ( τ , s ) ( X ) [ m , k ] = ∑ t = 1 T X [ t ] ⋅ W ( t − s m ) ⋅ e x p { − j 2 π k / τ ⋅ ( t − s m ) } STFT^{(\tau,s)}(X)_{[m,k]}=\sum_{t=1}^{T}X_{[t]} \cdot W(t-sm)\cdot exp\{-j2\pi k /\tau \cdot (t-sm)\} STFT(τ,s)(X)[m,k]​=∑t=1T​X[t]​⋅W(t−sm)⋅exp{−j2πk/τ⋅(t−sm)}

变换后的STFT尺寸为：[M, K], M代表时间维度，K代表频率幅值(复数形式),为方便起见，假设 s = τ s=\tau s=τ, 即窗口之间没有重叠，则 M = T / τ M=T/\tau M=T/τ， K = ⌊ τ ⌋ K =\lfloor \tau \rfloor K=⌊τ⌋/2 + 1

注：相比于DFT, STFT在某种程度上帮助我们恢复时间分辨率，然而在可达到的时间分辨率和频率之间会发生权衡，这就是所谓的不确定性原理。具体来说，窗口的宽度（ τ \tau τ）越大，频域分辨率就越高，相应地，时域分辨率越低；窗口的宽度（ τ \tau τ）越小，频域分辨率就越低，相应地，时域分辨率越高。

python包 scipy提供STFT的API,具体官方文档介绍见：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.stft.html

scipy.signal.stft(x，fs = 1.0，window =‘hann’，nperseg = 256，noverlap = None，nfft = None，detrend = False，return_oneside = True，boundary =‘zeros’，padded = True，axis = -1 ）

参数解释： x： 时域信号； fs： 信号的采样频率； window： 窗函数； nperseg： 窗函数长度； noverlap： 相邻窗口的重叠长度，默认为50%； nfft： FFT的长度，默认为nperseg。如大于nperseg会自动进行零填充； return_oneside ： True返回复数实部，None返回复数。 示例代码：

运行结果： 得到STFT结果尺寸为： Zxx.shaope: (501, 101)， 频率成分的数量为 ⌊ 1000 ⌋ \lfloor 1000 \rfloor ⌊1000⌋/2 + 1 = 501， 窗口片段的长度为1e5/1000 + 1=101 (此处应该是进行了pad)

1.Imaging Time-Series to Improve Classification and Imputation 2.Encoding Time Series as Images for Visual Inspection and Classification Using Tiled Convolutional Neural Networks 3.J.-P Eckmann, S. Oliffson Kamphorst and D Ruelle, “Recurrence Plots of Dynamical Systems”. Europhysics Letters (1987) 4.Stoica, Petre, and Randolph Moses,Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005 5.https://laszukdawid.com/tag/recurrence-plot/

最后附上时间序列数据集下载链接：http://www.cs.ucr.edu/~eamonn/time_series_data/, 几乎包含了所有当前该领域的数据集。 希望能帮助到大家， 未完待续。欢迎交流：[email protected]