我想通过本文将“测度，外测度，Caratheodory定理，Caratheodory扩张定理，测度的完备化”都进行个思维串联。

送上一句经典名言“定义测度是为了规定哪些集合我们不可测，哪些可测”。

其实最抽象的是“不可测”是个什么概念，毕竟我们之前的知识体系从没正面与“不可测”交过锋，为此我举个例子：现实生活中当我拿起尺子，就意味着我的“可测集”只能是线段，而对于一个三维空间的点我是无法测量的。

但谁拿着尺子会去测点啊？这不废话。

所以说这个例子表示有些“不可测集”已经被我们习惯性忽略了，所以再去感知“不可测集”有什么必要呢？如果从现实生活跳回抽象的数学空间的话，当然有必要，代数的抽象性让我们无法靠习惯性思维去辨别一个高维具有某种特性的集合系中类似“线段”和类似“点”的这些事物（测一个 R^{6} 向量空间的点集的“体积”，那哪些点集没有体积呢？你是不是无法给个明确的答案）。

测度其实是个从可测集映射到 \left[ 0 ， ∞\right) 的函数，可测集自然是可以测量的集合，集合中包含了很多元素，那它长什么样呢？不急，我们不知道它的“内心性格”，但是可以通过它的“为人处世”分析啊：

假设我们测度用在概率学的范畴：样本空间叫 X 集，事件便是 X 集的子集的集合系。

此时，如果A，B事件概率可测，那他们同时发生的事件应该也可测吧(对可数并运算封闭），如果A事件可测，那A事件不发生也可测啊，1-P嘛（对补集运算封闭），什么也不发生也可测啊（空集可测），X集的概率测度就为1咯(全集可测）。

因此大概确定了一个测度的可测集具有的特点，我们把具有这个特点的集合系叫sigma-代数，可测集就是个sigma-域。

那么有了可测集， 2^{X} 与可测集的差就是这个测度定义下的不可测集咯~

既然知道了可测集的性质，那测度也就相对应的有可测集的特质咯，毕竟是基于它的映射嘛.根据刚刚我们说的，不相交的事件的并集，测出来肯定是各个事件测度的和呗，什么事件也不包含的话，空集测出来肯定是0啊。

测度这玩意太麻烦了，定义域麻烦，映射关系也麻烦，搞了这么多限制，既然定义出来测度后那咱怎么去找一个具体的函数作为测度呢？

我们换个角度，假如能把随便一个映射到 \left[ 0 ， ∞\right) 的函数（这个函数没有任何限制，甚至存在母集映射的值比子集映射的值大都可以），把这个函数叫 l 改造一下，得到一个测度就好了，这样我们的测度要多少有多少哈哈哈！

当然首先是得想改造方法是啥，这里用到了一个大力出奇迹的思想：假设要测量雕像的面积，而我只有若干胶带，那是不是我每一次用无数胶带贴满雕像，再测胶带的总面积，就得到一个比雕像面积大的值了捏，然后测很多次，最小的那一次方法不就是最接近于雕像真实面积的值了嘛！

不过我们现在对函数 l 加点限制：对于全集 X 的任何一个子集， l 的定义域中都能找到可数并去包含这个子集，那么我们这个贴胶带得到的函数不就是定义在 X 的幂集上了嘛，适用范围忒广，这个贴胶带函数就叫做外测度：

那么外测度就有了如下特点：

可以看到和合法测度差的也不是很多了，嘿嘿胜利不远了，主要也就差别在外测度是次可列可加性，而测度具有可列可加。

刚刚我们知道了区别，那咱现在全副武装，顺着区别的方向干下去！

既然要可列可加，那如果有个集合 A\in2^{X} 能让任何 E\in 2^{X} 在 A 的分解上都具有可加性，那 A 显然就是构造 \sigma -代数的砖瓦呀，把所有砖瓦收集起来，得到的集合系中每个集合彼此相互分解都能可加，那这个集合系不就满足可列可加性了嘛，不就组建成我们想要的测度的定义域了嘛！

数学表达为 \forall E\in 2^{X}, \mu^{\ast}(E) = \mu^{\ast}(E\cap A) + \mu^{\ast}(E \cap A^{C}) ，则称 A 为 \mu^{\ast} -可测。

因此我们可以总结为，对给定函数 l ，我们先构造外测度 \mu^{\ast} ，然后去找所有 \mu^{\ast} -可测的集合构成的集合系 A ，那么 \mu^{\ast} 在 A 上就是一个测度喽，一气呵成！

提一嘴就是，所有的满足 \mu^{\ast}(E) = 0 的集合 E 也在 A 里。以上这些都是可以严格证明的，证明过程参见我底部贴的文章。

刚刚我们提到的是基于任意的函数 l 构造测度，但有个问题就是， l 构造的外测度还是过于抽象，我们不知道 \mu^{\ast} 和给定的 l 有什么相似之处，所以我们在 l 上做做文章吧。

如果我们已经有了个性质挺好的函数 l ，是不是 l 与 \mu^{\ast} 之间长得就很像了呢？

当然是的。

性质好的 l 太多了，我们先考虑其中一个吧，它长这样：

它和测度长得好像噢，也就只差那么点意思，这下我们的测度构造起来应该比随便拉来的一个 l 更好吧，那当然，这下构造出来的外测度和 l 的关联就非常紧密了：

我们现在看看刚刚构造的测度，它的可测集可以推出不可测集，我们现在想把这个测度的可测集们再扩大一成更大的集合系，然后定义个在这个大集合系上的测度，那肯定就意味着要把一些不可测集纳入可测集的范围，也就是赋予它们测度值。

那从什么角度选择不可测集呢？

我们先再想一想一个完备的测度有什么性质：如果一个可测集 A 的测度是0，那我们显然认为 \forall E\subset A 测度也为0，所以不可测集中存在这样的 E ，那么我们就包含进来，包含后我们的新可测集需要在原先的基础上再生成一个sigma域，所以相应调整一下就OK了。

等等你是不是好奇为什么我们之前直接从可测集的特征出发定义的概念里面没有这一条，毕竟我们之前所列出的条件只是通过具体案例：满足概率学场景下的使用，所推理出的必要条件，所以自然有一些其他的条件并未考虑，而且这些条件的有无也对我们原来的案例使用无大碍。而现在我们彻底将测度高度抽象出来，定义在广泛抽象的代数海洋里。

同时我们的完备化过程也保持了原有测度部分的不变性，可以看作是又一次的扩张。

以上内容的严谨理论证明过程可以膜拜这位大佬的定理公式总结——J 哥