函数的连续性 |
您所在的位置：网站首页 › holder连续函数的复合函数 › 函数的连续性 |
|
函数的连续性
极限理论
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui [at] ustc [dot] edu [dot] cn
函数的连续性
函数连续性的概念
在现实中，有一些函数变化是“跳跃”的，如 居民用电初等的阶梯价格、个人所得税的税率 取整函数$f(x)=[x]$而还有大部分函数是“连续”变化的，如 一个人的运动轨迹、瀑布、日月星辰的运动这种“连续”变化的函数就是连续函数。 它是微积分主要研究对象。 微积分中的主要概念、定理、公式、法则等，往往都需要函数具有连续性。 当函数从$x_0$变化到$x_1=x_0+\Delta x$时，函数值从$f(x_0)$变化到$f(x_1)$。 称$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$为函数的增量，$\Delta x$称为自变量的增量。 % 画 sin 和 arcsin 图像 \begin{tikzpicture}[ scale=1.6, declare function={f(\x)=exp(0.7*\x)-sin(\x r)-0.3;}] %\draw[very thin,color=gray] (-1.5,-1.2) grid (1.5,1.22); \draw[->] (-0.1,0) -- (1.8,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.98) node[above] {$y$}; \draw[domain=0.2:1.8, color=orange, ] plot (\x,{f(\x)}); \draw[dashed, blue] (0.5, {f(0.5)}) -- (0.5,0) node[below] {$x_0$}; \draw[dashed, blue] (1.55, {f(1.55)}) -- (1.55,0) node[below] {$x_0+\Delta x$}; \draw[dashed, blue] (0.5, {f(0.5)}) -- (1.55, {f(0.5)}); \draw[blue] (1.55, {f(0.5)}) -- (1.7, {f(0.5)}); \draw[blue] (1.55, {f(1.55)}) -- (1.7, {f(1.55)}); \draw[blue] (1.55, {f(1.3)}) node[right] {$\Delta y$}; \draw[blue] (1.05, {f(0.5)}) node[below] {$\Delta x$}; \end{tikzpicture}定义 1. (函数在一点处连续) 函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义。若 \[\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=0 \]则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续，点$x_0$称为函数$f(x)$的连续点。 对于连续函数来说，当自变量在$x_0$附近的增量$\Delta x$趋于0时，函数值的增量也趋于0。 若$f(x)$在$x_0$处连续，则有 \[\lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=0 \]即 \[\lim_{\Delta x\to0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0) \]设函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，从极限的角度来看， 函数$f(x)$在$x_0$处连续等价于：函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$f(x_0)$。即 \[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=f(\lim_{x\to x_0}x) \]例 1. (例2.4.1) 函数$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{\sin(x)}x , & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$在$x=0$处连续 解. 注意到$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1$ 例 2. (例2.4.2) 函数$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x\sin\frac1x , & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$在$x=0$处连续 解. 注意到$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0$ 用$\epsilon-\delta$语言描述： $f(x)$在$x_0$处连续。 函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义。若$\forall\epsilon>0$， 总$\exists\delta>0$，满足 \[|f(x)-f(x_0)|0$， 函数在$[a+\epsilon, b-\epsilon]$上连续，则函数在$(a,b)$内连续。依前面计算的基本初等极限，有 例 8. [例2.4.4] $\sin(x)$, $\cos(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续。 [例2.4.5] $a^x$在$(-\infty,+\infty)$内连续。 $\ln x$在$(0,+\infty)$内连续。 $x^b$在$(0,+\infty)$内连续。定义 4. (函数的间断) 如果函数$f(x)$在$x_0$处不连续，则称函数$f(x)$在$x_0$处是间断的，而$x_0$就称为函数$f(x)$的间断点 函数在$x_0$处连续，需要$f(x)$在$x_0$的极限值等于$f(x_0)$。 函数$f(x)$在$x_0$的极限值可以由它的左、右极限$f(x_0-)$、$f(x_0+)$来确定。 依据函数在左、右极限的情形，将间断点分类。定义 5. $x_0$为函数$f(x)$的间断点。 函数$f(x)$在$x_0$的左、右极限都存在，则称$x_0$是$f(x)$的第一类间断。 如果$f(x_0-)\neq f(x_0+)$，则称为跳跃间断点，$|f(x_0-)-f(x_0+)|$为跳跃度； 如果$f(x_0-) = f(x_0+)$，则称为可去间断点。 若函数$f(x)$在$x_0$的左、右极限至少有一个不存在，则称为$f(x)$的第二类间断。 如无穷间断点($\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$)， 振荡间断点(在$x\to x_0$的过程中，$f(x)$无限次振荡，极限不存在)例 9. (例2.4.7) 函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处无定义，有极限，为可去间断点 例 10. 取整函数$[x]$在整数点上是跳跃度为1的跳跃间断点； 符号函数$\mbox{sgn}(x)$在$0$处为跳跃度2的跳跃间断点。 例 11. Riemann函数 \[\begin{aligned} R(x)=\begin{cases} & \frac1n , x=\frac{m}{n} (m, n \mbox{ are coprime}) \\ & 0, x\notin Q \end{cases} \end{aligned} \]例 12. 函数 \[\begin{aligned} g(x)=\begin{cases} & \frac1{n+1} , x=\frac{m}{n} (m, n \mbox{ are coprime}) \\ & 0, x\notin Q \end{cases} \end{aligned} \]判定函数$f(x)=\sin(x)-\sin(x)g(x)$的连续性 例 13. (例2.4.9) 函数$f(x)=\sin\frac1x, (x\neq 0)$的连续性。 解. $x=0$为振荡间断点。 例 14. Dirichlet函数的连续性 \[\begin{aligned} D(x)=\begin{cases} & 1, x\in Q \\ & 0, x \notin Q \end{cases} \end{aligned} \] $xD(x)$，$(x-1)(x-2)D(x)$的间断点呢？ 连续函数的性质与四则运算定理 1. (局部有界性) 如果函数$f(x)$在$x_0$连续，则$f(x)$在$x_0$附近有界。 定理 2. (连续函数的保号性) 如果函数$f(x)$在$x_0$连续，且$f(x_0)>0$，则$f(x)>0$在$x_0$附近成立 解. 利用函数极限的特性易知。 定理 3. (连续函数的四则运算) 如果函数$f(x)$，$g(x)$在$x_0$连续，则 函数$f(x)\pm g(x)$， $f(x)g(x)$， $\frac{f(x)}{g(x)}$($g(x_0)\neq 0$)在$x_0$处也连续。进一步，如果$f(x)$，$g(x)$在区间$I$连续，则它们的和、差、积、商都在区间$I$连续。 例 15. 分析函数$f(x)+g(x)$和$f(x)g(x)$在$x_0$的连续性， $f(x)$在$x_0$连续，$g(x)$在$x_0$不连续； $f(x)$,$g(x)$在$x_0$均不连续。例 16. (例2.4.12) $f(x)$，$g(x)$在$x_0$连续，则$\max(f(x),g(x))$, $\min(f(x), g(x))$也在$x_0$连续。 \[\max(f(x), g(x))=\frac{f(x)+g(x)}2+\left|\frac{f(x)-g(x)}2\right| \]例 17. (命题2.4.1) 下列三角函数在定义域内连续 \[\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos x}, \cot(x)=\frac1{\tan x}, \sec(x)=\frac1{\cos x}, \csc(x)=\frac1{\sin x} \]定理 4. (复合函数的连续性) 函数$x=\phi(t)$在$t_0$连续，而函数$f(x)$在$x_0=\phi(t_0)$连续，则复合函数$f(\phi(t))$在$t_0$处连续。即有 \[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t))=f(\lim_{t\to t_0}\phi(t))=f(x_0)=f(\phi(t_0)) \]复合函数求极限，可以表现出“变量代换”的特性。 若$\phi(t)$和$f(x)$满足上述定理的条件，则令$x=\phi(t)$，可以得到 \[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t)) = \lim_{x\to \phi(t_0)}f(x) \]例 18. 研究复合函数$f(\phi(x))$在$(0,1)$内的连续性，其中 \[f(u)=\left\{\begin{aligned} u , & 0 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
| CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |