周崇喜，中国科学院光电技术研究所微细加工光学技术国家重点实验室

摘要

本文首先分析了理想高斯光束的一些基本特性，如近场束腰和远场发散角。接着重点分析了实际激光器由于系统口径截断的衍射受限导致的近场环围能量下降和远场发散角的展宽，并给出了相应计算方法。最后结合实际激光器的光束质量因子，进一步给出了实际激光器的远场发散角或聚焦激光尺寸的计算方法。

高斯函数的奇妙之处

高斯函数是以德国大数学家（德文Johann Carl Friedrich Gau β，英文Gauss）命名的初等函数，其一般表达式为（1）

这里a,b,c,为常数，其中a>0。当a=1、b=0时，就过渡成为一个关于纵坐标轴对称、标准方差为c的归一化高斯函数。激光技术领域中某个截面光场的振幅通常为圆对称函数分布，此时采用一个二维归一化高斯函数来表示，如式（2）

激光有三大特点：高单色性、高方向性及高亮度，其实归结起来就一点，高相干性。激光谐振腔在无像差及热差的情况下，圆形口径稳定腔出射的激光在垂直于传输光轴的任意截面上，其光场分布是一个严格的圆对称高斯函数，通常称之为高斯激光光束(Gaussian Laser Beam)，简称高斯光束[1]。式（3）和（4）分别为高斯光束振幅及光强的表达式。图2是一个束腰半径为0.5 mm的典型高斯光束强度分布情况，其中（a）、（b）、（c）分别为其三维分布、xoy平面俯视图及沿X轴或Y 轴方向的归一化光强分布。

这里ω称为高斯光束的束腰半径。从式（4）和图1可以看出，高斯光束的口径是无限的，光斑中心光强最强，随着半径的增大，光强随之降低。当光强降低到中心光强的1/e2=0.135倍时，对应的半径即为激光光束的束腰半径，也就是说该激光光束的直径为d0=2ω。

近场高斯光束的截断损耗、环围能量和束腰口径

实际上任何光学系统的直径都是有限的，比如激光加工、激光通信领域的激光光学系统，则其光束口径必然受到截断，这不仅浪费了能量，而且被光阑截断的能量将引起系统的温升，从而降低系统的稳定性，最后光阑的截断的衍射效应还将降低了其远场传输光学特性，因此研究光阑的截断很有意义。首先我们定义一个光学系统的截断比因子T，即高斯光束的束腰直径d0和光阑直径Ｄ的比值[2]，见式（５）。

一般而言。高斯光束在垂直传播方向截面的光强为二维分布，为此引入两个量：光阑边缘处的归一化截断光强α和该光阑内的环围能量比β，前者定义为光阑边缘处的光强与中心最大光强的比值，后者为光阑内的包络能量占整个高斯光束能量的比值，见式（６）和（７），物理表示见图2。

注意：（7-3）中分母为1，就是说二维归一化高斯光束的所有环围能量总和为1，这是高斯光束的奇妙之一。同时比较（6）和（7-4）可以得到（8）

从物理角度看，这两个量是不能进行相加运算的，但从纯粹数学角度来看确实是一种巧合，这是高斯光束奇妙之二。图2（c）同时给出截断光强值α和环围能量比β在不同截断值的值，可以看出，在任何截断值T时二者之和恒为1。下面给出几个特例

（b）不同截断比T时的截断光强值α(2)=60%，α(1)=13.5%，α(0.8)=4.4%，α(2/3)=1.11%，α(0.5)=0.03%

图2 不同截断比的高斯光束边缘光强的归一化值

从公式（６）可以可知，当光阑直径和束腰直径刚好相等时，其边缘处的光强为中心最大光强的1/e2=13.5%，此时环围能量比为86.5%。因此这也是后来成为一般激光光束口径的评价标准之一，无论被测光束是否为严格的高斯光束，均可通过CCD采集被测激光光斑，计算得到不同直径内的环围能量，把其中占比为86.5%环围能量时对应的直径即认为是该光束的直径d0。

当束腰直径为2/3×光阑直径，即截断比T=2/3时，其光阑边缘处的光强下降到中心最大光强的1.1%，此时环围能量比为98.89%。这是针对高功率激光应用时的一个后续光学系统光阑大小设置的常用方法。此时若再采用1/e2光强处的口径作为光阑，其能量损耗太大，极有可能烧坏后续光学系统光阑或增加系统温升，影响激光光学系统的质量。所以高功率激光器的光阑一般设置为1.5×束腰直径，同时较大口径的光阑能减小其衍射效应来提高远场信噪比，因为这个尺寸的光阑已经非常接近无遮拦理想高斯光束的情况。

当束腰直径为0.5×光阑直径即截断比T=0.5时，其光阑边缘处的光强下降到中心最大光强的0.03%，此时环围能量比为99.97%，即可认为是完全无截断高斯光束。

当束腰直径为1.69×光阑直径即截断比T=1.69.5时，其光阑边缘处的光强下降到中心最大光强的50%，此时环围能量比为比也为50%，也就是FWHM(Full Width of Half Maximum)，FWHM通常用来表述半导体激光器（Laser Diode, LD）的特性，如发散角。

实际上，对任意一个光斑的尺寸测量，均不可能在无限空间进行，因此在激光性能如光斑尺寸的测量时，首先在一定区域内通过探测器扫描或通过如CCD等阵列器件，获得最大功率时

，对应的位置坐标X0，再移动探测器到Xω位置使其强度或功率下降到1/e2

时，即可认为该被测光斑的半径rω＝Xω－X0。或者通过CCD等探测器接收所测光斑，注意探测器光敏面尺寸大于观测激光光斑直径的2倍以上，至少也应该为1.5倍，因为这时所包络能量已经接近理想的99.97%，通过运算获得不同半径包络比时，当包络比为86.5%的半径即可认为是该激光光斑的束腰半径ω。

远场高斯光束：高斯光束的截断衍射及远场发散角

从傅立叶光学理论可知，当高斯光束传输到较远的Fraunhofer面（近场xoy平面到传输距离Ｌ的远场XOY平面，其中

图3 高斯光束截断及远场衍射

根据高斯函数的积分性质可知，式（9-2）中的双重积分值为1，其中ξ=X/Lλ及η=X/Lλ分别为光场在两个方向的空间频率，X,Y分别为远场的空间坐标值，L为夫朗和费传输距离，λ为激光波长，其远场光强为(10)

其中，

，从(10)式可以看出，无截断理想高斯光束的远场分布仍然是高斯函数，或者说高斯光束的傅立叶变换仍然是高斯函数，这是高斯光束的奇妙之三。与近场光束相比，远场光场的束腰由ω变为

，它与近场束腰大小成反比，与激光波长和传输距离成正比。当光强下降到最大中心光强时的光斑半径即认为是远场激光半径，即

，此时激光发散角（全角）可表示为[4]

实际上所有光束均不同程度地被截断。不同截断比的近场高斯光束在其远场的分布可以通过（9-1）式数值积分得到，通过数值计算我们获得了束腰直径为1 mm、波长为1 mm、传输距离为1 mm的近场高斯光束在几种不同截断比时的远场归一化光斑分布，如图4。按照光强下降到最大中心光强的

来确定其远场光斑直径，进而与传输距离L相比即可得到不同截断比时的远场光束发散角。这里引入传输因子

来评价不同截断时高斯光束远场发散角

和波长

、近场束腰半径ω的比值关系，见式（12）。

（12）图５为不同截断比时传输因子

与波长和近场束腰半径的关系曲线。表1给出了不同截断比时高斯光束的近场截断光强、环围能量比及对应的

因子，从中可以看出，随着截断比的减小或者说光阑直径的增加，光阑截断的衍射效应随之减弱，高斯光束的传输越来越接近无截断理想情况。当T小于2/3时，

因子与无截断理想值2/π的差别约10%，当截断比小于0.5，即光阑口径为2倍束腰直径时，误差只有1.6%，即可以认为是无截断情况。因此一般激光光学系统的孔径光阑应该不小于1.5倍的束腰直径。

（波长λ=1 mm、束腰直径d0=1 mm、传输距离L=1 mm）

表1 不同截断比时高斯光束在远场的发散角

基于光束质量因子M2条件下的非理想高斯光束的远场发散角

对于实际激光系统，由于谐振腔、激光介质热透镜效应等因素引入系统波像差后，其输出激光束的光束质量将下降。通常采用光束质量因子M2来评价激光器的光束质量，其定义为任意激光光束的束参积（Beam Parameter Product，BPP）Q同理想高斯光束的Q0的比值[5]，见式（13）。这里的束参积定义为光束直径（光强下降到最大值1/e2）与其远场发散角全角的乘积，见式（14）。光束直径和发散角的单位通常用mm和mrad表示，因此束参积的单位一般为mm·mrad。

对于无截断的理想高斯光束，根据式（12）和（14-2）即可计算得到其理想束参积

。例如对于波长为1.064 μm的激光，其理想束参数积为1.35 mm·mrad。对于一台标称输出光束直径为1 mm，光束质量因子M2为1.5的激光器，那么其远场发散角大约为2.0 mrad。当然，激光器输出窗口的直径一般应该大于1.25到1.5倍束腰直径，也就是截断比应小于0.8~0.67，如当一台激光器标称光束质量因子为M2、输出窗口直径为D、环围能量比为β时，可根据表1获得光束的束腰半径ω及发散角因子

，通过式（15）即可计算其远场发散角。

总结及结论

本文首先分析了理想高斯光束的一些基本特性，如近场束腰和远场发散角。接着分析了实际激光器由于激光光学系统口径的衍射受限导致了近场环围能量的下降和远场发散角的展宽，并给出了相应计算方法。

为了尽可能减少光阑受限的衍射影响，一般要求通光口径不小于束腰直径的1.5倍。在截断因子大于0.67或孔径光阑小于1.5倍束腰直径的特殊应用场合，必须考虑其截断效应，计算分析截断光强α、能量环围比β以及远场发散角因子

等，才能精确给出了实际激光器的远场发散角或聚焦激光尺寸，为激光测量、激光加工等激光应用领域提供理论和设计支撑。

参考文献：

[1]Yariv.A. Introduction to Optical Electronics” Wiley, New York,1975。

[2]Robert E. Fisher, Biljana Tadic-Galeb, Paul R. Yoder, Optical System Design, SPIE Press, 2008。

[3]J.W.Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill ,1968。

[4] 周炳琨，高以智，陈家骅，陈倜嵘，激光原理，国防工业出版社，1980。

[5]Roland Diehl, High-Power Diode Lasers: Fundamentals, Technology, Applications, Springer-Verlag Heidelberg, 2000.