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倒格子(Reciprocal lattice) 二维晶体及其倒易点阵 在物理学中,倒易点阵是另一个点阵(通常是布拉维点阵)的傅立叶变换。在一般应用中,该第一晶格(其变换由倒格子表示)通常是实空间中的周期性空间函数,并且也被称为定向晶格。正格子存在于实际空间中并且是人们通常理解的物理晶格,倒格子存在于倒易空间(也称为动量空间或不常见的K空间,这是由于动量和位置是对偶关系)。因此,倒格子的倒格子是原来的正格子,因为两种晶格互为傅里叶变换。 倒易点阵在周期结构的大多数分析研究中起着基本性的作用,特别是在衍射理论中。在中子衍射和X射线衍射中,根据Laue条件,晶体的入射X射线和衍射X射线之间的动量差是倒格矢( reciprocal lattice vector )。晶体的衍射图案可以用于确定晶格的倒格矢。依此,可以推断晶体的原子排列。 数学描述假定一个理想的布拉菲格子 任何一个量(比如势能函数),或者原子晶体中的电子密度可以写为周期函数 具有的周期性特点,在傅里叶展开中是非常有用的。 因为对于任意的 那么最后一个式子对于特定情况 所以一定得有 这就意味着
数学上,我们可以将倒格子描述为所有向量的集合 对于所有格点位置矢量R,其满足上述的一致性. 倒格子本身也是一个布拉维点阵,倒格子的倒格子就是原始晶格。 对于由它的原始向量定义的无限二维网格 其中, 这里 对于一个无限的三维网格, 由它的初始向量 其中 注意,分母是矢量的混合积。 使用(倒易)初始向量的列向量表示,上述公式可以使用矩阵求逆重写: 这种方式的定义,允许任意维度的概括。 上面的定义被称为“物理”定义,
晶体学家的定义的优点在于 倒易点阵中的每个点(hkl)对应于实空间点阵中的一组点阵平面(hkl)。 倒格矢的方向对应于实空间平面的法线。 倒格矢的大小以长度的倒数给出,并等于实空间平面的晶面间距的倒数。 倒格子的性质 由倒易点阵的基矢定义,可得出倒格子的一些基本性质. 1. 同时正格矢 正格子空间是实空间,或称位置空间、坐标空间,正格子空间中的矢量是位置矢量,可以表示为 以 2、倒格子原胞体积Ω*与正格子原胞体积Ω之间有
4. 面间距公式 ![]() 正格子与倒格子的比较 ![]() 简立方布拉维点阵,边长为 面心立方晶格的倒格子是体心立方 考虑FCC复式晶胞。 找到FCC的初级单胞,即具有一个格点的单胞。 现在将初级单胞的一个顶点作为原点。 给出真实晶格的基本向量。 然后从已知的公式,你可以计算倒易格子的基向量。 FCC的这些互逆晶格向量表示BCC实际晶格的基本向量。 注意,实际BCC晶格的基向量和FCC的互逆晶格在方向上彼此类似,但在幅度上不相似。 体心立方晶格(Body-centered cubic (BCC) lattice)体心立方晶格的倒格子是面心立方 很容易证明 布拉菲格子 之间是90度 具有晶格常数为c和a的简单六方布拉维晶格的倒格子是具有晶格常数为 从它的定义,我们知道布拉维点阵的矢量必须在矢量加法和减法下闭合。 因此,如果我们有下式就足够了 以及 和与差 因此,我们已经给出了在矢量加法和减法下闭合的倒易点阵。此外,我们知道一个倒格子矢量G可以表示为初始向量的线性组合. 从前面的 其中 从这里我们可以得到: 从倒格子的定义可知 为了满足这一点,我们必须有 是倒格子的倒格矢. 根据 因此,我们可以得出结论:倒格子的倒格子是原始的正格子。 倒易空间倒易空间(也称为“k空间”)是指空间函数的傅立叶变换的空间(类似地,频域是表示时间相关函数的傅立叶变换的空间)。 傅立叶变换使我们从“真实空间”到倒易空间,反之亦然。 相对空间在波力学中发挥作用:由于平面波可以写为具有波矢量k和角频率w的振荡项exp(i(kx-wt)),因此它可以看作是k和x的函数(以及w和t的函数)。 在空间中,是以kx = 2 * pi的周期振荡,因此对于给定的相位,k和x彼此互逆:k = 2 * pi / x和x = 2 * pi / k。 倒易点阵是该空间中的周期性点集,并且包含组成周期性空间晶格的傅里叶变换的 在倒格子空间中以原点为中心的部分区域. 从倒格子空间原点,作与最近邻倒格点、次近邻倒格点、再次近邻倒格点、……的连线,再画出这些连线的垂直平分面。 包含原点的多面体所围区域就是第一布里渊区,与第一布里渊区相邻、且与第一布里渊区体积相等的区域为第二布里渊区; 与第二布里渊区相邻、且与第一布里渊区体积相等的区域为第三布里渊区;…. 第一布里渊区又称为简约布里渊区,简称布里渊区(Brillion Zone,记为BZ),它是倒格子动量空间的Wigner-Seitz原胞. 1, 简立方正点阵的倒点阵,仍为简立方,故布里渊区形状仍是简立方. 2, 体心立方正点阵的倒点阵,为面心立方,故布里渊区形状为菱形十二面体. 3,面心立方的倒点阵,为体心立方,故布里渊区形状是截角八面体(它是一个十四面体). ![]() 倒格子的引入及其在晶体结构研究中的作用 以下内容引用自张天蓉老师的博文 是晶体衍射的示意图。根据布拉格衍射条件:2d sinθ = nλ,这儿,d是晶格常数,θ是衍射角。如果我们将波长λ用波矢量k=2p/l来代替的话,经过简单的代数变换后,很容易将衍射条件写成:k sinθ= n(p/d) (1) 仔细观察下图(a),我们发现,不难从几何上理解公式(1)。它描述了满足衍射加强条件的波矢k与晶体结构中原子间距d之间的关系。满足衍射加强条件的波矢k的方向,也就是能打在衍射屏幕上而出现亮点的电磁波方向。所以,换言之,公式(1)描述了衍射图像亮点的位置与d之间的某种关系。什么样的关系呢?公式的右边是变量(p/d)的整数倍,这个变量与原子间距离d的倒数有关。![]() 现在,我们知道晶体的衍射图像对应于倒格子,就更加明白了布拉格父子工作的重要意义。因为固体中原子的晶格结构,是很难用显微镜直接观察到的。但是,X射线的衍射图像却已经可以得到。从X射线的衍射图像,我们可以计算出倒空间的几何结构,然后,再从倒空间,反过来又能计算出正晶格的相关常数,这样,晶体的结构不就一目了然了吗。因此,波矢空间及倒格子的概念,对研究固体物理的意义非常重大。探测晶体结构,不仅使用X-射线,也能用电子或中子衍射,从量子力学的观点,这些粒子(或电磁波)都具有波粒二象性,波矢反映了波动性,粒子性则可用动量表示。波矢与动量之间只相差一个常数因子,因此,波矢空间有时也称为动量空间。 【1】B. E. Warren (1969/1990) X-raydiffraction (Addison-Wesley, Reading MA/Dover, Mineola NY).【2】《固体物理学》,黄昆、韩汝琦著,高等教育出版社出版,2005, 上一篇: https://zhuanlan.zhihu.com/p/24242535 |
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