量子力学与统计物理Quantum mechanics and statistical physics

光电信息学院 李小飞

第三章：量子力学中的力学量

第一讲：力学量的算符表示

微观粒子具有波粒二象性，

其运动状态用波函数描述，

那么，如何从波函数求体系的性质？

引入

薛定谔说：用算符作用于波函数就行了

比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数上，就可以得到粒子的能量。

那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？

经典系统与量子系统的区别：经典系统的力学量有确定性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具有确定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同，但多次测量的统计平均值具有确定性。

一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值）

例：若已知波函数 ，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 的期望值：

同样，若已知波函数 ，可求粒子动量 的期望值：

问题：如何在知道波函数 的情况下求 的期望值？

定义算符：

力学量算符与期望值的关系：

对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：

如果波函数没有归一化，则

算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑

因此，先定义出各种力学量算符是必要的

定义标积（内积），简化书写

经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以

依据如下对应关系定义这些力学量的算符

二、由经典物理引进量子力学量算符

再论波函数的作用：

1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的概率分布，即

ω(r, t) = |ψ(r, t)|2

2. 已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的可能值、相应的概率及它的统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。

3. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，由Schrodinger方程即可确定以后各时刻的态函数。

波函数完全描述微粒的状态

四、力学量算符是线性厄密算符（ Hermitian）

1. 线性算符的定义

2. 厄密算

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