傅里叶变换与拉普拉斯

2023-03-16 11:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

傅里叶变换与拉普拉斯_正弦函数的拉普拉斯变换思创斯忠实用户-ss • 2023年3月14日 07:31 • 未分类

傅里叶变换与拉普拉斯_正弦函数的拉普拉斯变换因为傅里叶变换之类的很常用，时间长了不用总会忘记，所以一次性罗列出来权当总结好了。主要参考《信号与线性系统分析》(吴大正)，也有的部分参考了复变函数。1.δδ-函数相关运算nn阶导数的尺度变换δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)一阶导数和函数的乘积f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−…

大家好，我是你的好朋友思创斯。今天说一说傅里叶变换与拉普拉斯_正弦函数的拉普拉斯变换,希望您对编程的造诣更进一步.

因为傅里叶变换之类的很常用，时间长了不用总会忘记，所以一次性罗列出来权当总结好了。主要参考《信号与线性系统分析》(吴大正)，也有的部分参考了复变函数。 1.δδ-函数相关运算 nn阶导数的尺度变换 δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)

一阶导数和函数的乘积

f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)

nn阶导数和函数的乘积

f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)

2.傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数

f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπLx+bnsin⁡nπLx) an=1L∫L−Lf(x)cosnπLxdxan=1L∫−LLf(x)cos⁡nπLxdx bn=1L∫L−Lf(x)sinnπLxdxbn=1L∫−LLf(x)sin⁡nπLxdx 半幅傅里叶级数 ϕ(x)=∑n=1∞CnsinnπxLϕ(x)=∑n=1∞Cnsin⁡nπxL Cn=2L∫L0ϕ(x)sinnπxLdxCn=2L∫0Lϕ(x)sin⁡nπxLdx 常见函数傅里叶变换

这里傅里叶变换的定义中，因子12π12π统一放在逆变换前。gτ(t)gτ(t)指的是关于yy轴对称宽度为ττ的门函数

gτ(t)↔τSa(ωτ2)gτ(t)↔τSa(ωτ2)

其中SaSa即SincSinc.

e−atε(t)↔1a+iωe−atε(t)↔1a+iω e−a|t|↔2aa2+ω2e−a|t|↔2aa2+ω2 e−at2↔πa−−√e−ω24ae−at2↔πae−ω24a δ(t)↔1δ(t)↔1 ε(t)↔πδ(ω)+1iωε(t)↔πδ(ω)+1iω cos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]cos⁡(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)] sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]sin⁡(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)] tn↔2π(i)nδ(n)(ω)tn↔2π(i)nδ(n)(ω) 1t↔−iπsgn(ω)1t↔−iπsgn(ω) δT(t)↔ΩδΩ(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω) 3.性质时域微分

f(n)(t)↔(iω)nF(ω)f(n)(t)↔(iω)nF(ω)

时域积分

∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω)iω∫−∞tf(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω)iω

频域微分

(−it)nf(t)↔F(n)(ω)(−it)nf(t)↔F(n)(ω)

频域积分

πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dνπf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫−∞ωF(ν)dν

对称性

F(t)↔2πf(−ω)F(t)↔2πf(−ω)

尺度变换

f(at)↔1|a|F(ωa)f(at)↔1|a|F(ωa)

时移

f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)

频移

f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)

3.卷积的微分性质

设f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)

卷积定理

时域f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)F(ω)=G(ω)H(ω) 时域f(t)=g(t)h(t)f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)

周期函数fT(t)fT(t)傅里叶变换

由指数形式的傅里叶级数，两边取傅里叶变换，所以周期函数的傅里叶变换时受到2πFn2πFn调制的梳状脉冲(TT代表周期，Ω=2πTΩ=2πT)

fT(t)↔2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nΩ)fT(t)↔2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nΩ)

4.拉普拉斯变换

因果信号f(t)f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)f(t)ε(t)，一个因果信号及其单边拉普拉斯变换是一一对应的。每个非因果信号都对应唯一一个双边拉普拉斯变换，但是一个双边拉普拉斯变换在不同收敛域条件下，可以对应不同的非因果信号。

常见的单边拉普拉斯变换 gτ(t−τ2)ε(t)gτ(t−τ2)ε(t) ∑n=0∞δ(t−nT)↔11−e−Ts∑n=0∞δ(t−nT)↔11−e−Ts ε(t)↔1sε(t)↔1s tε(t)↔1s2tε(t)↔1s2 e−atε(t)↔1s+ae−atε(t)↔1s+a sin(βt)ε(t)↔βs2+β2sin⁡(βt)ε(t)↔βs2+β2 cos(βt)ε(t)↔ss2+β2cos⁡(βt)ε(t)↔ss2+β2 sinh(βt)ε(t)↔βs2−β2sinh⁡(βt)ε(t)↔βs2−β2 cosh(βt)ε(t)↔ss2−β2cosh⁡(βt)ε(t)↔ss2−β2 性质(双边拉普拉斯变换记为Fb(s)Fb(s)) （单边）尺度变换

f(at)↔1aF(sa),a>0f(at)↔1aF(sa),a>0

（双边）尺度变换

f(at)⟷b1|a|Fb(sa)f(at)⟷b1|a|Fb(sa)

（单边）时移

f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0F(s)f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0F(s)

（双边）时移

f(t−t0)⟷be−st0Fb(s)f(t−t0)⟷be−st0Fb(s)

（单边，双边）复频移

es0tf(t)ε(t)↔F(s−s0)es0tf(t)ε(t)↔F(s−s0)

（单边）时域微分，可递推

f′(t)↔sF(s)−f(0−)f′(t)↔sF(s)−f(0−)

f′′(t)↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)f″(t)↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)

（双边）时域微分，可递推

f′(t)⟷bsFb(s)f′(t)⟷bsFb(s)

（单边）时域积分，可递推

∫t0−f(τ)dτ↔1sF(s)∫0−tf(τ)dτ↔1sF(s)

∫t−∞f(τ)dτ↔1sF(s)+1s∫0−−∞f(τ)dτ∫−∞tf(τ)dτ↔1sF(s)+1s∫−∞0−f(τ)dτ

（双边）时域积分，可递推

∫t0f(τ)dτ⟷b1sFb(s),α

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