首先要明白什么是鲁棒，什么是 H ∞ H_\infty H∞​。这两个概念是独立的。

鲁棒指系统在不确定参数（parameter uncertainties）摄动下，系统维持其自身某种性能（稳定、某指标）的特性。鲁棒性的主要问题是高频的未建模动态。

应该注意的是，我们在进行鲁棒稳定性分析时，要将干扰与控制输入置0。

H ∞ H_\infty H∞​ 是对传递函数增益大小的一个度量指标，简单说就是一个系统输入输出的放大倍数。

H H H 无穷的标准问题实际是：求解已真有理（解析有界）的控制器 K K K，使外输入 W W W 到加权输入 Z Z Z 的传递函数阵的 H H H 无穷范数最小。翻译过来就是，由于我们一般考虑线性系统，直接运用闭环系统稳定性分析的 LMI 进一步公式推导，直至导出矩阵元素中含有某一参数（性能指标）的 LMI，运用 MATLAB 求解即可。

鲁棒 H ∞ H∞ H∞ 控制就是抑制噪声到期望输出之间的传递函数集的最大增益，从而达到抗扰的目的。其实顾名思义，鲁棒 H H H 无穷就是研究系统既包含不确定性，又要求达到某一性能指标。鲁棒 H ∞ H∞ H∞ 控制具有较强的保守性。

总结：研究系统鲁棒性，就是研究包含不确定参数的系统。研究H无穷，就是研究满足某性能指标的系统。

From: 如何理解鲁棒H无穷控制理论？

现代鲁棒控制理论中，特别是多入多出系统（MIMO)， H 2 H_2 H2​ 问题和 H ∞ H_\infty H∞​ 问题占据着中心地位，其中 H 2 H_2 H2​ 问题（也是一种特殊情况的 LQG问题 ）研究的最多，最成熟，但是应用的却最少，相反却很大的促进了对线性系统的研究，也为 H ∞ H_\infty H∞​ 问题的提出和解决铺平了道路。

H 2 H_2 H2​ 问题以最小化输出能量为控制其设计目标，上世纪六七十年代，人们把主要的研究投入到这个问题，由 H 2 H_2 H2​ 问题引出的 H 2 H_2 H2​ 控制，优化目标中没有考虑扰动（噪声），把只针对白噪声或者某一个噪声的信号有效果，此外现实中广为使用的乘法不确定性也很难考虑，而且 H 2 H_2 H2​ 范数不是诱导范数，数学运算受到很大限制，虽然 H 2 H_2 H2​ 控制可以把目标值优化为0，但实际应用中，不确定噪声很大衰减了性能及 其稳定性。

在80年代，传递函数的 H ∞ H_\infty H∞​ 范数才被提出并被Doyle成功应用到鲁棒控制中， 线性系统的鲁棒控制得以完成， H ∞ H_\infty H∞​ 控制最小化传递函数（阵）的 H ∞ H_\infty H∞​ 范数，也是传递函数矩阵最大奇异值的最大值，与 H 2 H_2 H2​ 控制对比，它以最小化最大奇异值的最大值（也可以形象地说是传递函数的峰值），只要求扰动和不确定性有界，而且 H ∞ H_\infty H∞​ 范数是 L 2 L_2 L2​诱导范数，数学运算更加方便。九十年代只是针 对结构不确定性的 H ∞ H_\infty H∞​ 问题提出了结构奇异值综合法，并针对 H ∞ H_\infty H∞​ 问题提出了更好的算法，分别针对解析解（ H ∞ H_\infty H∞​ 次优解等）和数值解 （LMI-线形矩阵不等式）两个方向发展，其中的LMI得以广泛的发展和推崇。

当然非线性系统的鲁棒控制， H ∞ H_\infty H∞​ 的思想也有很好的应用。

第一次看鲁棒控制感觉扑朔迷离，理论艰深，特别是本科刚毕业时，需要很多的知识需要补充，矩阵分析是最基本的，复变函数，线性泛函，线性系统理论都是必修课。这些完成之后就可以学习鲁棒控制了，个人认为 H 2 H_2 H2​ 问题虽然应用少，但是理解了 H 2 H_2 H2​， H ∞ H_\infty H∞​ 就顺理成章，有的牛人讲课时，只讲 H 2 H_2 H2​ 问题， H ∞ H_\infty H∞​ 一笔带过。

Ref: 鲁棒控制中的H2问题和H-inf问题-转

考虑线性时不变系统（多变量） x ˙ = A x + B u y = C x \dot{x} = A x + B u \\ y = Cx x˙=Ax+Buy=Cx

求解下列 Lyapunov 方程 A L c + L c A T = − B B T A L_c + L_c A^T = -B B^T ALc​+Lc​AT=−BBT

代入 ∥ G ( s ) ∥ 2 = t r a c e ( C L c C T ) \|G(s)\|_2 = \sqrt{trace( C L_c C^T )} ∥G(s)∥2​=trace(CLc​CT) ​

或者求解 A T L o + L o A = − C T C A^T L_o + L_o A = -C^T C ATLo​+Lo​A=−CTC

代入 ∥ G ( s ) ∥ 2 = t r a c e ( B T L o B ) \|G(s)\|_2 = \sqrt{trace( B^T L_o B )} ∥G(s)∥2​=trace(BTLo​B) ​

Matlab 求解 Lyapunov 方程 A X + X A T + C = 0 X = l y a p ( A , C ) AX+XA^T+C=0\\ X = lyap(A,C) AX+XAT+C=0X=lyap(A,C)

对于单变量系统的传递函数 ∥ G ( s ) ∥ 2 = 1 j 2 π ∮ G ( − s ) G ( s ) d s \|G(s)\|_2 = \sqrt{\frac{1}{j2\pi}\oint G(-s) G(s) ds} ∥G(s)∥2​=j2π1​∮G(−s)G(s)ds ​

等于 G ( − s ) G ( s ) G(-s)G(s) G(−s)G(s) 在左半平面上的留数之和的平方根。

例子： G ( s ) = 1 s + 1 G(s) = \frac{1}{s+1} G(s)=s+11​

G ( s ) G ( − s ) G(s)G(-s) G(s)G(−s) 在左半平面上的极点为 s = − 1 s=-1 s=−1，那么在该极点上的留数为 lim ⁡ s → − 1 ( s + 1 ) 1 − s + 1 1 s + 1 = 1 2 \lim_{s\rightarrow -1} (s+1) \frac{1}{-s+1} \frac{1}{s+1} = \frac{1}{2} s→−1lim​(s+1)−s+11​s+11​=21​

所以 ∥ G ( s ) ∥ 2 = 1 2 \|G(s)\|_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} ∥G(s)∥2​=2 ​1​

Ref: 鲁棒控制理论（十）计算系统H2范数和H∞范数

《 H 2 H_2 H2​ 和 H ∞ H_\infty H∞​ 优化控制理论》

最优控制理论中的线性二次型性能指标 J = ∫ 0 ∞ [ x T ( t ) Q x ( t ) + u T ( t ) R u ( t ) ] d t J = \int_0^\infty [x^T(t) Q x(t) + u^T(t) R u(t)]dt J=∫0∞​[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt

如果被控过程的数学模型用随机过程模型描述，且干扰信号是高斯白噪声（有限谱信号），则相应的线性二次型最优控制问题称为 LQG 问题，其性能指标为 J = lim ⁡ T → ∞ 1 T E { ∫ 0 ∞ [ x T ( t ) Q x ( t ) + u T ( t ) R u ( t ) ] d t } J = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{T} E\{ \int_0^\infty [x^T(t) Q x(t) + u^T(t) R u(t)]dt \} J=T→∞lim​T1​E{∫0∞​[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt}

其中 E E E 为数学期望。

可以证明，上述 LQG 问题的性能指标等价于从随机干扰信号到系统被控输出信号的传函（阵）的 H 2 H_2 H2​ 范数。

上述 LQG 问题可以等价地表述为：设计反馈控制器 K K K，使闭环系统稳定，同时使从 w w w 到 z z z 的闭环传函阵 G z w ( s ) G_{zw}(s) Gzw​(s) 的 H 2 H_2 H2​ 范数达到极小，即 min ⁡ K ∥ G z w ( s ) ∥ 2 = γ 0 \min_{K} \| G_{zw}(s) \|_2 = \gamma_0 Kmin​∥Gzw​(s)∥2​=γ0​

称为 H 2 H_2 H2​ 最优控制问题。若给定 γ > γ 0 \gamma>\gamma_0 γ>γ0​，求反馈控制器 K K K，使 ∥ G z w ( s ) ∥ 2 < γ \| G_{zw}(s) \|_2 < \gamma ∥Gzw​(s)∥2​Gzw​(jω)}

其中 σ ˉ = λ max ⁡ ( G ∗ G ) 1 2 \bar{\sigma} = {\lambda_{\max} (G^* G) }^{\frac12} σˉ=λmax​(G∗G)21​，为 G G G 的最大奇异值， G ∗ G^* G∗ 为 G G G 的共轭转置阵， λ max ⁡ \lambda_{\max} λmax​ 为最大特征值。

在图1所示标准控制问题中，如果评价信号 z z z 为向量信号，并将其分块为 z = { z 1 T , z 2 T , ⋯   , z m T } T z=\{z_1^T, z_2^T, \cdots, z_m^T \}^T z={z1T​,z2T​,⋯,zmT​}T，记从 w w w 到 z i ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) z_i(i=1,2,\cdots,m) zi​(i=1,2,⋯,m) 的闭环传函阵为 G z i w ( s ) G_{z_i w}(s) Gzi​w​(s)，取 G z i w ( s ) G_{z_i w}(s) Gzi​w​(s) 的 H 2 H_2 H2​ 范数或 H ∞ H_{\infty} H∞​ 范数，就得到相应的 H 2 H_2 H2​ 或 H ∞ H_{\infty} H∞​ 多目标控制问题。

如果将 z z z 分块为 z = { z 1 T , z 2 T } T z=\{z_1^T, z_2^T\}^T z={z1T​,z2T​}T，且取 ∥ G z 1 w ( s ) ∥ 2 < γ 1 , ∥ G z 2 w ( s ) ∥ ∞ < γ 2 \|G_{z_1w}(s)\|_2 < \gamma_1, \|G_{z_2w}(s)\|_\infty < \gamma_2 ∥Gz1​w​(s)∥2​