集合是指具有某种特定性质的具体的或者抽象的对象汇总而成的集体，构成集合的这些对象称为该集合的元素。   代数系统是建立在集合上的一种运算系统。由一个非空集合，与其定义在集合上的运算所组成。群、环都是特殊的代数系统。   引入二元运算性质和二元元素性质：

  群的定义：原群是一种基本的代数结构，只要满足运算的封闭性。而在原群上的二元运算法则满足不同的二元运算性质，可分为半群、幺半群、群、阿贝尔群。   幺半群是一种特殊的半群，而群也是幺半群的一种，阿贝尔群是最特殊的群，我们也称之为最好的群。

  环是在群的基础的上定义的，一种包含两种运算符的代数系统。(R,+)是一个阿贝尔群，(R,*)是一个半群，当满足：（+,*）运算满足分配律，则定义(R,+,*)为环。而当运算符满足一定性质时，环也可以区分为交换环、带有单位元的环、除环。

  一个满足(R,*)满足交换律的除环称为域。

  集合中的元素和元素之间满足的数学规则运算（公理）构成为空间。不同的规则性质可定义成不同的空间。如满足加法和数乘运算的线性空间、定义了距离的度量（距离）空间、定义了范数的赋范空间、以及两两结合的线性赋范空间和线性度量空间。还有定义了内积的内积空间、交并运算的拓扑空间、以及常用的希尔伯特空间（完备性）。