泊松比小于0.5可以从理论上解释。

在弹性范围内，材料的变形与其受力大小成正比。这一关系是1678年由英国学者罗伯特·胡克通过实验发现的，故称胡克定律。

在微元尺度上，胡克定律表述为材料的应变 \varepsilon 与其所受的应力 \sigma 成正比，即：

\sigma=E\varepsilon (式1)

式中 E=\frac{\sigma}{\varepsilon} 为材料的弹性模量，它是一个人为定义并由试验测量的常数。由于英国学者托马斯·杨最先测得一些材料的弹性模量，所以这一比例常数也称杨氏模量。

一般情况下，材料在某一方向产生变形时，在垂直的方向也会相应变形。在弹性小变形情况下，材料垂直方向的应变 \varepsilon_{d} 与原方向的应变 \varepsilon 之比为常数。这一常数由法国学者泊松提出，称为泊松比 \nu ，定义如下：

\nu=\left| \frac{\\\varepsilon_{d}}{\varepsilon} \right|=-\frac{\\\varepsilon_{d}}{\varepsilon} (式2)

需要说明，泊松比为常数的物理意义一般仅适用于弹性材料在发生小变形之时，不适合大变形或塑性材料。

为便于分析，从材料中取一微元体，其三边原始长度分别为 a,b,c 。假设该微元体处于一般应力状态，可以通过旋转变换找到在某一坐标系下微元体各面上仅有垂直平面的正应力，而平行平面的切应力为0，称之为主单元体。

对于各向同性的材料在线弹性、小变形之下，从中取出一主单元体，如图1左侧所示。该主单元体受到三个方向的主应力 \sigma_{1}、\sigma_{2}、\sigma_{3} 作用，相应的主应变为 \varepsilon_{1}、\varepsilon_{2}、\varepsilon_{3} 。需注意，由于某一方向发生变形时，其余方向也会发生变形，所以这里某一方向应变并非单单由该方向的应力引起，而是三个方向的应力共同影响。

因处于弹性状态，可将该单元体视为三个单项应力状态的叠加，如图1右侧所示。利用单向胡克定律，可以计算每一单向应力作用时产生的应变，如表1所示。

应用叠加原理和胡克定律，得到每一方向的实际应变与三向应力的关系：

\varepsilon_{1}=\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{1}^{''}+\varepsilon_{1}^{'''}=\frac{1}{E}[\sigma_{1}-\nu(\sigma_{2}+\sigma_{3})]

\varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{'}+\varepsilon_{2}^{''}+\varepsilon_{2}^{'''}=\frac{1}{E}[\sigma_{2}-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{3})]

\varepsilon_{3}=\varepsilon_{3}^{'}+\varepsilon_{3}^{''}+\varepsilon_{3}^{'''}=\frac{1}{E}[\sigma_{3}-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{2})] (式3)

该主单元体的变形前的原始体积 V=abc 。在三个主应力作用下，变形后各边长分别为：

a=a+\Delta a=a(1+\varepsilon_{1})

b=b+\Delta b=b(1+\varepsilon_{2})

c=c+\Delta c=c(1+\varepsilon_{3})

略去高阶微量，于是变形后单元体的体积为

V_{1}=abc(1+\varepsilon_{1})(1+\varepsilon_{2})(1+\varepsilon_{3})\approx abc(1+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}) (式4)

则单位体积的变化量——体积应变为：

\theta=\frac{V_{1}-V}{V}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3} (式5)

这表示单元体的体积应变近似等于三向主应变之和。此外，值得一提的是，与主单元体同一位置处任意三个垂直截面上的正应力之和都相等，即 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z} ，此处不再证明。因而也可以说单元体的体积应变近似等于三向正应变之和。

将三向应变的表达式(式3)代入到体积应变表达式(式5)，整理得到：

\theta=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3})=\frac{\sigma_{m}}{K} (式6)

式中：

K=\frac{E}{3(1-2\nu)} ，称为体积弹性模量，可见其可以由弹性模量和泊松比得到。

\sigma_{m}=\frac{1}{3}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}) ，为平均正应力。

可见上式(式6)是胡克定律在体积层面的表现形式。

先站在感性的角度上，利用对于材料的归纳认识来解释泊松比小于0.5的缘由。

正如胡克做实验时发现弹簧受拉伸长而受压缩短，那么材料的变形与其受力应是同一方向，即在(式1)中，应变 \varepsilon 和应力 \sigma 的正负一致，则弹性模量 E=\frac{\sigma}{\varepsilon}>0 。

而对于一般材料，单元体在某一方向受力发生变形时，垂直方向由于材料内部粒子间复杂作用的宏观影响，不可能完全自由变形，即材料体本身会“抗拒”变形。侧向伸长或缩短的程度总是小于相应的受力方向受压缩短或受拉伸长的程度。表现在宏观层面，就是物体受拉时体积膨胀而受压时体积缩减，可见材料的变形与其受力应是同一方向，即在(式6)中，体积应变\theta 和平均应力 \sigma_{m} 的正负一致，则体积弹性模量 K=\frac{E}{3(1-2\nu)}>0 。

由于弹性模量 E>0 和体积弹性模量 K>0 ，进而可以推断出泊松比 \nu图2 主单元体

则对于图2所示的主单元体，单元体的三个棱边长分别为 dx,dy,dz 。注意到主应力方向与主应变方向一致，并假定三个主应力按某一比例同时由0增加到最终值。则该单元体储存的总应变能为：

U=\frac{1}{2}(\sigma_{1}dydz)(\varepsilon_{1}dx)+\frac{1}{2}(\sigma_{2}dxdz)(\varepsilon_{2}dy)+\frac{1}{2}(\sigma_{3}dxdy)(\varepsilon_{3}dz)=\frac{1}{2}(\sigma_{1}\varepsilon_{1}+\sigma_{2}\varepsilon_{2} +\sigma_{3}\varepsilon_{3})dxdydz (式8)

同时，定义单位体积的应变能称为应变比能，简称为比能 u 。

则该单元体的总比能为：

u=\frac{U}{V}=\frac{1}{2}(\sigma_{1}\varepsilon_{1}+\sigma_{2}\varepsilon_{2} +\sigma_{3}\varepsilon_{3}) (式9)

将三向应变的表达式(式3)代入上式，得到用主应力表示的比能：

u=\frac{1}{2E}[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-2\nu(\sigma_{1}\sigma_{2} +\sigma_{2}\sigma_{3} +\sigma_{1}\sigma_{3} )] (式10)

在一般情况下，受力物体中主单元体会同时发生体积改变和形状改变，其中体积改变由平均主应力引起，形状改变由各项应力与平均主应力的差值引起（如图3所示）。对应的比能分别称为体积改变比能 u_{v} 和形状改变比能 u_{f} 。总比能 u 为此二者之和：

u=u_{v}+u_{f} (式11)

由于体积改变可以用体积应变度量，因此两个体积应变相等的单元体，其体积改变比能也相同。而(式6)显示出体积应变只与平均主应力相关，则可以将主应力平均值 \sigma_{m}=\frac{1}{3}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}) 代入到 (式10)中计算主单元体的体积改变比能：

u_{v}=\frac{1}{2E}[\sigma_{m}^{2}+\sigma_{m}^{2}+\sigma_{m}^{2}-2\nu(\sigma_{m}^{2}+\sigma_{m}^{2}+\sigma_{m}^{2} )] =\frac{3(1-2\nu)}{2E}\sigma_{m}^{2}=\frac{(1-2\nu)}{6E} (\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3} )^{2} (式12)

将上式(式12)代入(式11)也可以得到形状改变比能的表达式：

u_{f}=u-u_{v} =\frac{(1+\nu)}{6E}[(\sigma_{1}-\sigma_{2} )^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3} )^{2}+(\sigma_{1}-\sigma_{3} )^{2}] (式13)

根据热力学第一定律——能量守恒定律，外力做功，必然在物体内积聚变形能量，所以体积改变比能u_{v} 和形状改变比能u_{f}均应 >0 。

则可以由体积改变比能u_{v}>0表达式(式12)得到：泊松比 \nuu_{v}>0表达式(式13)得到：泊松比 \nu>-1 。

杨伯源主编《材料力学》。