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很早就学过欧几里得算法，但是一直不知道它的原理。几乎每本算法书都会提到它，但是貌似只有数学书上才会见到它的原理。。。

前段时间粗粗看了点数论（《什么是数学》），惊讶于这个原理的奇妙。现在把它通俗地写下来，以免自己忘记。

欧几里得算法是求两个数的最大公约数(Greatest Common Divisor (GCD))的算法，我们首先假设有两个数 \(a\) 和 \(b\)，其中 \(a\) 是不小于 \(b\) 的数，

记 \(a\) 被 \(b\) 除的余数为 \(r\)，那么 \(a\) 可以写成这样的形式：

其中 \(q\) 是整数（我们不需要去管 \(q\) 到底是多少，这和我们的目标无关）。

现在假设 \(a\) 和 \(b\) 的一个约数为 \(u\)，那么 \(a\) 和 \(b\) 都能被 \(u\) 整除，即

\(s\) 和 \(t\) 都是整数（同样的，我们只需要知道存在这样的整数 \(s\) 和 \(t\) 就行）。

这样可以得出

所以 \(r\) 也能被 \(u\) 整除，一般规律如下

\(a\) 和 \(b\) 的约数也整除它们的余数 \(r\)，所以 \(a\) 和 \(b\) 的任一约数同时也是 \(b\) 和 \(r\) 的约数。 —— 条件一

反过来可以得出

\(b\) 和 \(r\) 的任一约数同时也是 \(a\) 和 \(b\) 的约数。 ——条件二

这是因为对 \(b\) 和 \(r\) 每一个约数 \(v\)，有

于是有

由条件一和条件二可知

\(a\) 和 \(b\) 的约数的集合，全等于 \(b\) 和 \(r\) 的约数的集合。

于是

\(a\) 和 \(b\) 的最大公约数，就是 \(b\) 和 \(r\) 的最大公约数。

接下来用递推法，

\(a \div b\) 余 \(r\)，现在设

\(b \div r\) 余 \(r_1\)

\(r \div r_1\) 余 \(r_2\)

……

\(r_{n-3} \div r_{n-2}\) 余 \(r_{n-1}\)

\(r_{n-2} \div r_{n-1}\) 余 \(r_n=0\)

因为 \(a \ge b\)，可以看出余数 \(r_n\) 会越来越小，最终变成 \(0\).

当 \(r_{n-1} \neq 0\) 且 \(r_n = 0\) 时，可知 \(r_{n-2}\) 可被 \(r_{n-1}\) 整除（余数为 \(0\) 嘛）

此时 \(r_{n-2}\) 和 \(r_{n-1}\) 的约数就只有：\(r_{n-1}\) 和 \(r_{n-1}\) 的因数，所以他们的最大公约数就是 \(r_{n-1}\)！

所以 \(r_{n-1}\) 就是 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数。（若 \(r = 0\)，则 \(b\) 为最大公约数）

这个递推法写成c语言函数是这样的（比推导更简洁...）:

可以发现这里没有要求 M>=N，这是因为如果那样，循环会自动交换它们的值。

P.S. 此外，还有最小公倍数(Least Common Multiple (LCM))算法，详见 GCD and LCM calculator