两点分布（Bernoulli distribution）是离散概率分布中最简单的一种。假设随机变量 X X X 只可能取两个值：0 和 1，其概率分别为 P ( X = 0 ) = 1 − p P(X = 0) = 1 - p P(X=0)=1−p 和 P ( X = 1 ) = p P(X = 1) = p P(X=1)=p，其中 0 ≤ p ≤ 1 0 \leq p \leq 1 0≤p≤1。

期望值（Expectation）也称为均值，表示随机变量在一次试验中可能的取值按各自概率加权后的平均值。对于随机变量 X X X，其期望值记作 E ( X ) \mathbb{E}(X) E(X)，定义为： E ( X ) = ∑ i x i P ( X = x i ) \mathbb{E}(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) E(X)=i∑​xi​P(X=xi​)

在两点分布中，随机变量 X X X 只有两个取值 0 和 1，因此其期望值为： E ( X ) = 0 ⋅ P ( X = 0 ) + 1 ⋅ P ( X = 1 ) \mathbb{E}(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) E(X)=0⋅P(X=0)+1⋅P(X=1) 代入概率值得： E ( X ) = 0 ⋅ ( 1 − p ) + 1 ⋅ p = p \mathbb{E}(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p E(X)=0⋅(1−p)+1⋅p=p

方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度，记作 Var ( X ) \text{Var}(X) Var(X) 或 σ 2 \sigma^2 σ2。方差的定义为： Var ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] \text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^2] Var(X)=E[(X−E(X))2] 这可以通过以下公式计算： Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 Var(X)=E(X2)−(E(X))2

首先，我们计算 E ( X 2 ) \mathbb{E}(X^2) E(X2)。在两点分布中， X 2 X^2 X2 只有两个取值 0 和 1，因此： E ( X 2 ) = 0 2 ⋅ P ( X = 0 ) + 1 2 ⋅ P ( X = 1 ) = 0 ⋅ ( 1 − p ) + 1 ⋅ p = p \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p E(X2)=02⋅P(X=0)+12⋅P(X=1)=0⋅(1−p)+1⋅p=p

现在我们已经知道： E ( X ) = p \mathbb{E}(X) = p E(X)=p 和 E ( X 2 ) = p \mathbb{E}(X^2) = p E(X2)=p

代入方差公式： Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = p − p 2 = p ( 1 − p ) \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 = p - p^2 = p(1 - p) Var(X)=E(X2)−(E(X))2=p−p2=p(1−p)

对于两点分布 X X X，其期望值和方差分别为： E ( X ) = p \mathbb{E}(X) = p E(X)=p Var ( X ) = p ( 1 − p ) \text{Var}(X) = p(1 - p) Var(X)=p(1−p)

这两个结果表明，在两点分布中，随机变量 X 的期望值是事件 X = 1 的概率 p ，而方差则是 p 和（1 - p）的乘积，表示了离散程度。