A

B

C

P

中考数学复习线段和差最值系列之费马点

皮耶

·

德

·

费马，

17

世纪法国数学家，有

“

业余数学家之王

”

的美誉，之所以叫业余并非段

位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．

费马在解析几何、微积分等领域都有卓越

的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的

“

费马小定理

”

、

“

费马大定理

”

等．

言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．

问题：在

△

ABC

内找一点

P

，使得

P

A

+

PB

+

PC

最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂

线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么

办？

若点

P

满足∠

PAB=

∠

BPC=

∠

CPA=120

°，

则

PA+PB+PC

值最小，

P

点称为该三角形的费马点．

一、如何作费马点

问题要从初一学到的全等说起：

（

1

）如图，分别以

△

ABC

中的

AB

、

AC

为边，作等边

△

ABD

、等边

△

ACE

．

（

2

）连接

CD

、

BE

，即有一组手拉手全等：

△

ADC

≌△

ABE

．

（

3

）记

CD

、

BE

交点为

P

，点

P

即为费马点．

（到这一步其实就可以了）

（

4

）以

BC

为边作等边

△

BCF

，连接

AF

，必过点

P

，有∠

P

AB

=

∠

BPC

=

∠

CP

A

=120°

．

在图三的模型里有结论：

（

1

）∠

BPD

=60°

；

（

2

）连接

AP

，

AP

平分∠

DPE

．有这两个结论便足

以说明∠

P

AB

=

∠

BPC

=

∠

CP

A

=120°

．

但是在这里有个小小的要求，

细心的同学会发现，

这个图成立的一个必要条件是∠

BAC