在对信号与系统的理论分析中，我们经常会通过Laplace变换将时域信号转换为频域信号。这一方面是因为在实际工业应用中，我们需要经常处理一些频率信号；另一方面，经过这种积分变换后，主要以线性微分方程为

描述的物理世界的分析往往会变得更加容易，因为Laplace变换可以将线性微分方程转化为复数域中的代数方程。

（说的就像代数方程很简单一样.....）

（复数域中的代数方程之所以被认为是简单的是因为有柯西、黎曼等一众大佬，与普通人无关...。但也多亏了这些数学家的努力，我们可以直接应用很多复数代数方程的性质来对系统进行处理和分析。）

总之，复变函数的相关知识是自动控制理论中基于频域代数方程和传递函数模型分析的基础，本篇内容主要介绍相关复变函数知识并实时更新。

包括的内容有：复变函数的解析性和留数，幅角定理，保角映射。

复变函数的解析性和留数

复变函数的解析性以多元函数可微的条件为基础并如下定义：

若 f(z) 在区域 D 内有定义，设 z_0 \in D ，若存在 z_0 的一个邻域使得在邻域内出处可导，则称fz f(z) 在 z_0 处是解析的，称 z_0 是 f(z) 的解析点，若 f(z) 在区域 D 内的每一点都解析，则称 f(z) 是 D 内的解析函数，反之，若 f(z) 在 z_0 处不解析（或无定义），则称 z_0 是 f(z) 的奇点，且若在 z_0 的任意小邻域内，没有其他奇点，则 z_0 是 f(z) 在区域 D 内的孤立奇点。

非孤立奇点点举例： f(z) = \frac{1}{sin(1/z)} ，可知 z=0 是一个奇点，但它并非孤立奇点因为 z = \frac{1}{n\pi} 也是函数的奇点而且n可取值为任意大。

注意：函数是否解析是在区域上考虑的，解析是指在解析点附件邻域内解析。

判断函数是否解析的充要条件是柯西-黎曼方程，简称C-R方程：设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ，则 f(z) 在 z=x+iy 处可导的条件为u和v在x，y处可微且满足如下方程：

\frac {\partial u} {\partial x} = \frac {\partial v} {\partial y} ， \frac {\partial u} {\partial y} =- \frac {\partial v} {\partial x}

证明思路：联想多元函数在某点的可微的条件是函数的自变量沿任意路径趋近于该点，所得结果均相同，即极限值是唯一的。类似的，我们将复函数拆分成实部和虚部，那么沿实轴方向和虚轴方向趋近某点的时候，如果如果所得值相同，那么复变函数也是可到的，根据这个思想得出的两个等式就是C-R方程。

极点与奇点是有区别的，通俗来讲，奇点是指函数中性质比较奇怪，不好处理的点，侧重于奇怪，而极点是使函数值为无穷大的点。一般情况下，仅从数值来看，奇点和极点是重合的。

复变函数中另一个比较重要的知识点是留数。留数是指解析函数沿包围某一孤立奇点的任意正向简单闭合曲线的积分除以 2\pi i 。数值上，留数等于解析函数的洛朗展开式中的负一次幂项的系数。函数 f(z) 的m阶极点的留数的计算方法：

Res[f(z),z_0] = lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]

这里有一个引理需要提一下，因为后面会用得到。

辐角定理

辐角原理是复变函数中的一个重要原理，是理解控制原理中的Nyquist判据的关键，幅角原理是指复变函数f(z)沿着闭曲线C正向（逆时针）绕行一周后辐角argf(z)的改变量除以2π等于f(z)在C的内部的零点和极点个数的差值。该定理的证明过程可以通过对原函数为对数复变函数 ln(f(x)) 的函数的曲线积分，即:

\frac{1}{2\pi i} \int_C \frac {f'(z)}{f(z)} dz =\frac{1}{2\pi i} \int_C d(ln(f(z)) = N(f,C) - P(f,C)

其中N，P分别是是函数f(z)在闭曲线C中的零点和极点个数（N=Null，P=Pole，N在P之前），该积分的计算用到了留数定理。

为什么这个积分这么重要？因为对数复变函数有一个很有意思的一点：联想到欧拉公式 e^ix = cos(x)+isin(x) ，则 ln(f(z)) =ln|f(z)| +i(arg(f(z))+2k\pi ) ，那么，沿一闭合曲线对 \frac {f'(z)}{f(z)} 的积分的值仅仅与在z沿C转一圈时fz绕原点转了多少次有关，因为经过牛顿-莱布尼茨公式计算后，两个相同的实部 ln|f(z)| 互相抵消了。并且，从等式右边我们发现， f(z) 绕原点转圈的次数又可以和闭合曲线C内包围的 f(z) 的零极点的个数对应。那么，在求解稳定性问题的时候，我们想知道 f(z) 在左半开平面的零极点个数，就可以做一个包围了左半开平面的闭合曲线C，画出 f(z) 图像，只要看其绕原点（对于开环传函来说是绕-1点）的次数就可以了--这就是为什么开环传函的Nyquist图可以判断系统的稳定性。

保角映射

函数可以被看做是一种数值对应关系，一个函数就是把自变量空间的点映射到了因变量空间，反应了两组变量的对应关系。设函数w=f(z)在区域D内解析，z0为D内的一点，且f’(z0) ！= 0，则映射w=f(z)在点处具有保角性，即过点z0的两条曲线问的夹角与映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。

依据百度百科的描述：

但是就写这篇文章的时候来讲，我没想到控制理论中直接与保角映射相关的定理，之前考虑过 G(s) 将 s = j\omega 的虚轴映射为 G(s) 空间中的Nyquist曲线，然后Nyqiust曲线上的某点，特别是与 |G(s)| = 1 的圆的交点处的切线角度中可能是保角映射相关性质应用的地方，因为对与单位圆的交点的分析正式H-inf理论和控制器设计的落脚点。但具体是不是，如何用保角映射还是希望有人能够指教和回答。

至此，介绍控制理论中涉及的相关复变函数的内容也告一段落，但是复分析在自动控制理论中的应用远不止这一篇文章所能包括的。无论如何，学习好复变函数对后续的自动控制理论的学习和研究都是有帮助的。