什么是导函数？

2023-08-29 08:33| 来源: 网络整理| 查看: 265

函数f（x）的求导公式 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 该算式叫做函数f（x）的导函数。也就是说，“求导”就是“求导函数”。函数是什么意思？函数是一种关系，在这种关系中，某一个变量的任意一个值都对应某一固定的值。 f（x）中x为自变量。f很常见，它是“function（函数）”的第一个字母。函有匣子之意，意思是说将x放在f这个匣子里，就能进行计算并得到答案。因此，对f（x）求导得到的导函数也是函数。也就是说，代入变量x的值就能得到相应的斜率，非常方便。导函数通常表示为f（x）。在f后面加上“”，读做“f撇x”。导函数也可以求导，得到的是导函数的导函数。此时因为是二次求导，所以写成 $f^{\prime \prime}(x)$ 。上撇号会根据求导的次数添加。综上： $f^{\prime }(x) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . 咱们的课本上只对下列常用函数用定义求了导函数：

$y=f(x)=c$ 导数因为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{c-c}{\Delta x}=0$

所以 $y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 0=0$ 用一句话说就是：常函数的导数是零。用我们昨天的话说，就是常函数的每一点处的斜率为0.

$y=f(x)=x$ 的导数因为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=1$ 所以 $y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 1=1$ $y=f(x)=x^{2}$ 的导数因为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}$ $=\frac{x^{2}+2 x \cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}$ $=2 x+\Delta x$ 所以 $y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(2 x+\Delta x)=2 x$ $y=f(x)=\frac{1}{x}$ 的导数因为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}$ $=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x) \Delta x}=-\frac{1}{x^{2}+x \cdot \Delta x}$ 所以 $y^{\prime}=\lim _{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(-\frac{1}{x^{2}+x \cdot \Delta x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}$ 、 $y=f(x)=\sqrt{x}$ 的导数因为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$ $=\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$ $=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$ 所以 $y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x+0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 书上说了，为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表。

image.png 什么意思，你不用全部推导一遍，但是你要明白，上面的公式全部都是用导数的定义推出来的。学数学，最好不要死记公式，但是对于高中生来说，上面的一些公式用你现在所具备的知识无法推导，有兴趣了解以上公式推导的同学请关注我后面的内容，我会收集一些简要的证明提供给大家。

【本文地址】

什么是导函数？

什么是导函数？

今日新闻

推荐新闻