文章作者: 范子琦 文章链接: https://www.robotsfan.com/posts/d99d1c1a.html 版权声明: 本博客所有文章除特别声明外，均采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议。转载请注明来自 范子琦的博客！

三向电机，分别为UVW三向，角度互差120度。若使用BLDC控制方法，如下图每次换向增加60度，转子只能到达六个位置，所以六步换向时会有振动。使用FOC控制方法可以使转子到达任意角度，所以运行起来会更加平滑。

如果想到达40度的位置，只需要在0度方向通电一段时间，在60度方向通电一段时间，再在空矢量的状态下通电一段时间（全桥000或111的位置为空矢量，空矢量的时长用来调节扭矩。后面会讲到），三段时间组成一个周期，以这个周期循环产生PWM，即可锁定至40度。若想到达其他角度，只需改变0度和60度的通电时长比例。

要想使磁场旋转起来，就需要输入正弦电压，但我们输入的是直流电，我们马上想到可以使用PWM波。通过不断改变PWM脉宽就可以模拟正弦电压，体现在电流上则为正弦电流。

下图为一个完整的FOC流程图：

我们先来看正向通路：输入 I d _ r e f I_{d\_ref} Id_ref​ 和 I q _ r e f I_{q\_ref} Iq_ref​ 与下文反馈通路采样得到的电流 I d I_d Id​ 和 I q I_q Iq​ 进行PID控制输出 U d U_d Ud​ 和 U q U_q Uq​ （输入的 I d _ r e f I_{d\_ref} Id_ref​ 通常为0， I q _ r e f I_{q\_ref} Iq_ref​ 前通常还需要接入一个速度PID构成速度环），再通过反Park变换转换成 U α U_\alpha Uα​ 和 U β U_\beta Uβ​ ，通过SVPWM模块控制定时器产生六路互补的PWM信号，最后使用PWM信号控制全桥MOS管的通断，产生三向电压使电机转动。

再来看反馈通路：通过采样电阻采集任意两相电流，根据基尔霍夫电流定律可以算出第三相电流，将三向电流通过Clark变换转化成 I α I_\alpha Iα​ 和 I β I_\beta Iβ​ ，再通过Park变换转换成 I d I_d Id​ 和 I q I_q Iq​ ，作为反馈传入PID控制器构成电流环。

上图中的Park变换和反Park变换需要当前的角度作为输入；速度PID需要速度作为反馈。所以需要获得电机的速度与角度。角度和速度的获取方法分为有感和无感。有感方式使用霍尔元件（Hall Sensor），安装在电机上就可以检测电机磁铁的位置。无感使用观测器（observer）获得角度速度信息，本文将使用扩展卡尔曼滤波观测器（EKF），输入为 U α U_\alpha Uα​ 、 U β U_\beta Uβ​ 、 I α I_\alpha Iα​ 、 I β I_\beta Iβ​ 。使用无感方式不需要霍尔传感器，可以减少连接线的数量，也可以减小成本。

为什么要使用坐标变换？电机控制大多是在控制速度/转矩，需要用PID闭环控制正弦交流电压的幅值和角度，不是很容易实现，所以通过坐标变化把正弦交流信息分解成角度信息（Q轴控制转矩）和幅值信息（D轴控制磁场）单独控制。

FOC的变换中要满足等幅值变换，即变换前后幅值不变。

坐标变换都分为正向变换和反向变换，正向变换都是对电流进行操作的，反向变换都是对电压进行操作的。

下面的变换均采用联立和矩阵两种形式表示，以方便使用。

Clark变换实现了三向坐标系 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c) 与直角坐标系 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 间的转换。

Clark反变换则将两相信号转换为三相信号。已知三相坐标系 ( I a , I b , I c ) (I_a,I_b,I_c) (Ia​,Ib​,Ic​) ，这三个基向量不是正交的，所以可以将其正交化为一个直角坐标系，命名为 α − β \alpha-\beta α−β 坐标系，变换公式为： { I α = I a − I b cos 60 − I c cos 60 = I a − 1 2 I b − 1 2 I c I β = I b cos 30 − I c cos 30 = 3 2 I b − 3 2 I c \left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} I_\alpha&=I_a-I_b\text{cos}60-I_c\text{cos}60 \\ &=I_a-\frac{1}{2}I_b-\frac{1}{2}I_c \end{aligned} \\ \begin{aligned} I_\beta&=I_b\text{cos}30-I_c\text{cos}30 \\ &=\frac{\sqrt3}{2}I_b-\frac{\sqrt3}{2}I_c \end{aligned} \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧​Iα​​=Ia​−Ib​cos60−Ic​cos60=Ia​−21​Ib​−21​Ic​​Iβ​​=Ib​cos30−Ic​cos30=23 ​​Ib​−23 ​​Ic​​​

表示为矩阵形式： [ I α I β ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ I a I b I c ] \left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \\ I_{c} \end{array}\right] [Iα​Iβ​​]=[10​−21​23 ​​​−21​−23 ​​​]⎣ ⎡​Ia​Ib​Ic​​⎦ ⎤​ 我们一般在电路中只采集两相电流，第三相电流可以使用基尔霍夫电流定律得出（ I a + I b + I c = 0 I_a+I_b+I_c=0 Ia​+Ib​+Ic​=0 ），故上式也可整理为以下形式： { I α = 3 2 I a I β = 3 2 I a + 3 I b \left\{\begin{array}{l} I_\alpha=\frac{3}{2}I_a \\ I_\beta=\frac{\sqrt3}{2}I_a+\sqrt3I_b \end{array}\right. {Iα​=23​Ia​Iβ​=23 ​​Ia​+3 ​Ib​​

矩阵形式： [ I α I β ] = [ 3 2 0 3 2 3 ] [ I a I b ] \left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{2} & 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \sqrt{3} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \end{array}\right] [Iα​Iβ​​]=[23​23 ​​​03 ​​][Ia​Ib​​] 由于变换前后 I a I_a Ia​ 和 I α I_\alpha Iα​ 幅值要相同，所以要进行等幅值变换，变换系数为 2 3 \frac{2}{3} 32​ ，即变为 { I α = I a I β = 1 3 ( I a + 2 I b ) \left\{\begin{array}{l} I_\alpha=I_a \\ I_\beta=\frac{1}{\sqrt3}(I_a+2I_b) \end{array}\right. {Iα​=Ia​Iβ​=3 ​1​(Ia​+2Ib​)​ 矩阵形式： [ I α I β ] = [ 1 0 1 3 2 3 ] [ I a I b ] \left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \end{array}\right] [Iα​Iβ​​]=[13 ​1​​03 ​2​​][Ia​Ib​​] （这里的系数在后文SVPWM里相电压的幅值与电压空间矢量之间有一个 3 2 \frac{3}{2} 23​ 的系数相抵消）

MATLAB实现为：

反Clark变换则将三相信号转换为两相信号。根据图可以写出： { U a = U α U b = − 1 2 U α + 3 2 U β U c = − 1 2 U α − 3 2 U β \left\{\begin{array}{l} U_{a} = U_{\alpha} \\ U_{b} = -\frac{1}{2}U_{\alpha} + \frac{\sqrt3}{2}U_{\beta}\\ U_{c} = -\frac{1}{2}U_{\alpha} - \frac{\sqrt3}{2}U_{\beta} \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧​Ua​=Uα​Ub​=−21​Uα​+23 ​​Uβ​Uc​=−21​Uα​−23 ​​Uβ​​ 矩阵形式： [ U a U b U c ] = [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] [ U α U β ] \left[\begin{array}{c} U_{a} \\ U_{b} \\ U_{c} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} U_{\alpha} \\ U_{\beta} \end{array}\right] ⎣ ⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​1−21​−21​​023 ​​−23 ​​​⎦ ⎤​[Uα​Uβ​​]

MATLAB实现为：

Park变换实现了两相坐标系 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 与转子坐标系 ( d , q ) (d,q) (d,q) 间的转换，此变换可以将正弦变量线性化。其中 d d d 指向转子中心， q q q 指向切线方向， θ \theta θ 是转子当前的角度，也就是说 d − q d-q d−q 坐标系始终跟着转子同步旋转。

则根据上图可以写出 { I d = I α cos ⁡ θ + I β sin ⁡ θ I q = − I α sin ⁡ θ + I β cos ⁡ θ \left\{\begin{array}{l} I_{d}=I_{\alpha} \cos\theta+I_{\beta} \sin\theta \\ I_{q}=-I_{\alpha} \sin\theta+I_{\beta} \cos\theta \end{array}\right. {Id​=Iα​cosθ+Iβ​sinθIq​=−Iα​sinθ+Iβ​cosθ​ 很明显上述变换可以用旋转矩阵来表示，使用矩阵形式可以很方便地写出： [ I d I q ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ I α I β ] \left[\begin{array}{l} I_{d} \\ I_{q} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right] [Id​Iq​​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][Iα​Iβ​​] （如果 d d d 轴为0，则功率全部输出在 q q q 轴上。）

MATLAB实现为

根据上面的推导可以求得反Park变换 { U α = U d cos ⁡ θ − U q sin ⁡ θ U β = U d sin ⁡ θ + U q cos ⁡ θ \left\{\begin{array}{l} U_{\alpha}=U_{d} \cos\theta-U_{q} \sin\theta \\ U_{\beta}= U_{d} \sin\theta+U_{q} \cos\theta \end{array}\right. {Uα​=Ud​cosθ−Uq​sinθUβ​=Ud​sinθ+Uq​cosθ​ 同理，使用旋转矩阵可以求出反变换的系数矩阵： [ U α U β ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ U d U q ] \left[\begin{array}{l} U_{\alpha} \\ U_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} U_{d} \\ U_{q} \end{array}\right] [Uα​Uβ​​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][Ud​Uq​​]

MATLAB实现为

为了更清楚地仿真，这里不用矩阵形式表示，如需矩阵形式可以看我写的另一篇文章。

请注意，正向变换都是对电流进行操作的，反向变换都是对电压进行操作的。但是在这节的仿真中，把正变换和反变换连在一起，这样做没有实际意义，只是为了验证变化算法。

输入Vd为0，Vq为1，角度为由0到2pi的连续值。

再来看子模块内部，输入经过两个逆变换，再经过两个正变换。

运行查看波形（新版本MATLAB常值输入为一个圆圈）