∫ − ∞ ∞ c o s b x ⋅ e − x 2 d x   \int_{-\infty}^{\infty} cosbx \cdot e^{-x^2}dx\, ∫−∞∞​cosbx⋅e−x2dx

利用该结果可计算下式的傅里叶逆变换 F ( w ) = e − a 2 w 2 t   F(w)=e^{-a^2w^2t}\, F(w)=e−a2w2t 其傅里叶逆变换为 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ e j w x d w   \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot e^{jwx} dw\, 2π1​∫−∞∞​e−a2w2t⋅ejwxdw 由于 e j w x = c o s ( w x ) + j s i n ( w x ) e^{jwx}=cos(wx)+jsin(wx) ejwx=cos(wx)+jsin(wx) 且下面积分 ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ j s i n ( w x ) ) d w   \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot jsin(wx)) dw\, ∫−∞∞​e−a2w2t⋅jsin(wx))dw 的被积函数为奇函数，故积分为0 所以，原积分可等价为 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ c o s ( w x ) ) d w   \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot cos(wx)) dw\, 2π1​∫−∞∞​e−a2w2t⋅cos(wx))dw 做变换，令 r 2 = a 2 t w 2 r^2=a^2tw^2 r2=a2tw2 则有 d r = a 2 t d w dr=\sqrt{a^2t}dw dr=a2t ​dw 则原积分可变为 1 2 π ⋅ 1 a 2 t ∫ − ∞ ∞ e − r 2 ⋅ c o s ( x a 2 t r ) d r   \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2} \cdot cos(\frac{x}{\sqrt{a^2t}}r) dr\, 2π1​⋅a2t ​1​∫−∞∞​e−r2⋅cos(a2t ​x​r)dr 由之前的积分 ∫ − ∞ ∞ c o s b x ⋅ e − x 2 d x = π ⋅ e − 1 4 b 2   \int_{-\infty}^{\infty} cosbx \cdot e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi} \cdot e^{-\frac{1}{4}b^2} \, ∫−∞∞​cosbx⋅e−x2dx=π ​⋅e−41​b2 可得 ∫ − ∞ ∞ e − w 2 ⋅ c o s ( x a 2 t r ) d w = π e − x 2 4 a 2 t   \int_{-\infty}^{\infty} e^{-w^2} \cdot cos(\frac{x}{\sqrt{a^2t}}r) dw=\sqrt{\pi}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}} \, ∫−∞∞​e−w2⋅cos(a2t ​x​r)dw=π ​e−4a2tx2​ 综上，原积分为 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 w 2 t ⋅ e j w x d w = 1 2 a π t e − x 2 4 a 2 t   \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2w^2t} \cdot e^{jwx} dw=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}\, 2π1​∫−∞∞​e−a2w2t⋅ejwxdw=2aπt ​1​e−4a2tx2​