怎么邀请我回答这个, 懵(・∀・(・∀・(・∀・*)

先说关键吧: (e^{2\pi i})^i\ne e^{-2\pi} , 1^i\ne 1

再回忆 a^x 中对于 x 分别为正整数, 整数, 有理数, 实数时 a 的取值范围以及 a^x 的值

x 是正整数时, a 可以是任意实数, a^x=a\cdot a...\cdot a ( x 个)

x 是整数时, a 需要是非零实数, a^x=a^m\div a^n ( m 和 n 是正整数并且 x=m-n )

x 是有理数时, a 需要是正实数, a^x=\sqrt[n]{a^m} ( m 和 n 是整数并且 x=\frac{m}{n} )

x 是实数时, a 需要是正实数, 先定义 e^x=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+... , 注意到这个函数是单调的, 有反函数 \ln x , 所以 a^x=e^{x\ln a}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(x\ln a)^k}{k!}}

如果 a^x 中 a 或者 x 是复数是什么情况

a 是非零复数, x 是整数时, 与前面类似定义 a^x=a^m\div a^n ( m 和 n 是正整数并且 x=m-n )是良好的

a 是非零复数, x 是有理数时, 与前面类似定义 a^x=\sqrt[n]{a^m} ( m 和 n 是整数并且 x=\frac{m}{n} )不是良好的, 因为 a^m 是个复数, 其 n 次方根有 n 个值, 而且 x=\frac{m}{n} 可以不是最简分数, 这意味着 a^x 有无穷个值

这条路走不通

那么 a 是正实数, z 是复数时, 还是一样先定义 e^z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{z^k}{k!}}=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+... , 注意到这个函数是周期的(周期 2\pi i ), "反函数" \ln z 是多值的, 所以 a^z=e^{z\ln a} 不是良好定义( a^z 也有无穷个值)

这条路也不通

发现了这个后, 我再补充下

有了这个Ln(z)=\ln\left| z \right|+i Arg(z) 后就有 a^z=\{e^{zLn(a)}\}

所以 (e^{2\pi i})^i=e^{iLn(e^{2\pi i})}=\{e^{-2k\pi}\} , 你得到的是其中一个值 e^{-2\pi}

1^i=e^{iLn1}=\{e^{i2k\pi i}\}=\{e^{-2k\pi}\} , 你得到的是其中一个值 e^0=1

等式相等说明集合相等