泰勒级数

①一般项系数： a n = 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0) an​=n!1​f(n)(x0​)

②在 x 0 x_0 x0​处的泰勒展开式 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n , x ∈ U ( x 0 ) f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x∈U(x_0) f(x)=n=0∑∞​n!1​f(n)(x0​)(x−x0​)n,x∈U(x0​) ③ f ( x ) f(x) f(x)能展开成泰勒级数的充要条件

a. f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​的某个邻域中具有各阶导数。-------------------------这样还不够，不一定收敛于 f ( x ) f(x) f(x)

b. f ( x ) f(x) f(x)的泰勒展开式中的余项 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)当 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞时的极限为零即 lim ⁡ n → ∞ R n ( x ) = 0 , x ∈ U ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0,x∈U(x_0) n→∞lim​Rn​(x)=0,x∈U(x0​) ④泰勒级数 f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + . . . + 1 n ! f n ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + . . . f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_0)^n+... f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!1​f′′(x0​)(x−x0​)2+...+n!1​fn(x0​)(x−x0​)n+...

麦克劳林级数

a.麦克劳林级数 f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x ) + 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 + . . . + 1 n ! f n ( 0 ) x n + . . . = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f n ( 0 ) x n f(0)+f'(0)(x)+\frac{1}{2!}f''(0)x^2+...+\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n f(0)+f′(0)(x)+2!1​f′′(0)x2+...+n!1​fn(0)xn+...=n=0∑∞​n!1​fn(0)xn b.麦克劳林展开式

若级数能在收敛域(-r,r)内展开，那么有 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n , ( ∣ x ∣ < r ) f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n,(|x|