x的x次方图像长啥样?刷新你对数学的认知! |
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在中学时候,我们学习过幂函数和指数函数,比如y=x²,y=2ˣ,都是大家比较熟悉的。 幂函数和指数函数可是,你知道 y=xˣ图像长什么样吗? 这并不是一个简单的问题,我们需要使用复数对“乘方”的概念进行拓展。这可能会有点难,但是如果你能花点时间看完这篇文章,并且稍作思考,那你一定能被数学之美所折服。 01 实数乘方的含义我们先来讨论一下:在实数范围内,乘方的含义: 在底数c大于0的时候,乘方一定有意义,例如: 按照这样的方法,计算y=xˣ在x>0的范围内是很容易的,利用软件可以画出: 如果底数c小于0,有时cˣ依然有意义,例如: 但也有时候,cˣ在实数范围内无意义,例如: 因为负数在实数范围内不能开平方,所以这个乘方就没有意义。中学时候老师教给我们一个判断方法:负数不能开偶次方根。 可是,利用这个规则我们依然不能判断所有的情况,比如 π是一个无理数,根本不能写成两个整数的比,所以也不知道它到底是在开奇数次方根,还是在开偶次方根,我们甚至不知道它在实数范围内有没有意义。 使用中学阶段的乘方知识,我们就只能理解到这里了,所以没办法画出y=xˣ在x0时,xˣ的辐角是2kπx。 若k=0,无论x取何实,辐角都是0,此时xˣ是一个正的实数,对应第一象限里连续的线; 若k≠0,如果2kx是一个奇数,那么xˣ是一个负的实数,对应着第四象限的断续的线。 2. 在x |
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