对于反常积分敛散性的判别，我们需要掌握两个重要结论，并能熟练地进行无穷小、无穷大比阶。1

注意到：

∫ 1 x p d x = 1 ( p − 1 ) x p − 1 = 1 p − 1 ⋅ e ( 1 − p ) ln ⁡ x \int \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x = \frac{1}{(p-1)x^{p-1}} = \frac{1}{p-1} \cdot e^{(1-p)\ln x} ∫xp1​dx=(p−1)xp−11​=p−11​⋅e(1−p)lnx

有：

（1）无穷区间的反常积分 ∫ 1 ∞ ( 1 / x p ) d x \int_1^\infty (1/{x^p}) \mathrm{d}x ∫1∞​(1/xp)dx：在 p > 1 p \gt 1 p>1 时收敛，在 p ⩽ 1 p \leqslant 1 p⩽1 时发散。

（2）无界函数的反常积分 ∫ 0 1 ( 1 / x p ) d x \int_0^1 (1/{x^p}) \mathrm{d}x ∫01​(1/xp)dx：在 p < 1 p \lt 1 p 0 \left( 1 - p \right) \gt 0 (1−p)>0 时， lim ⁡ x → 0 e ( 1 − p ) ln ⁡ x = e − ∞ = 0 \lim_{x \to 0} e^{(1-p)\ln x} = e^{-\infty} = 0 limx→0​e(1−p)lnx=e−∞=0， 故收敛； p = 1 p = 1 p=1 时， 1 p − 1 \frac{1}{p-1} p−11​ 不存在，故发散； ( 1 − p ) < 0 \left( 1 - p \right) \lt 0 (1−p)