线性代数的学习和整理23:用EXCEL和python 计算向量/矩阵的:内积/点积,外积/叉积 |
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目录 1 乘法 1.1 标量乘法(中小学乘法) 1.1.1 乘法的定义 1.1.2 乘法符合的规律 1.2 向量乘法 1.2.1 向量:有方向和大小的对象 1.2.2 向量的标量乘法 1.2.3 常见的向量乘法及结果 1.2.4 向量的其他乘法及结果 1.2.5 向量的模长(长度) 模长的计算公式 1.2.6 距离 2 向量的各种乘法 2.1 向量的标量乘法(即:向量乘1个常数) 2.2 通用的向量/矩阵乘法 (Matrix Multiply) 2.3 向量的内积(数量积) inner product 2.3.1 内积的定义(适合N维空间中) 2.3.2 内积的计算公式: 2.3.3 内积乘法符合的规律 2.3.4 内积的几何意义 2.4 向量的点积 (标准内积/欧几里得内积) Dot product (二维空间 ,勉强三维空间) 2.4.1 内积和点积的区别: 点积是欧几里得内积,是内积的特例 2.4.2 内积和外积的几何意义的区别 2.4.3 点积除了二维空间,还可以三维空间应用吗? 2.4.4 点乘和点积的定义 2.4.5 点积符合的规律 2.4.6 点积的几何意义 内积的公式可以理解为往另外一个向量的投影 EXCEL里cos(θ) 的计算 cos曲线 最大值 ,最小值和90度正交 2.4.7 向量点积的分界线 2.4.8 点积的应用 2.5 向量的外积 outer product 2.5.1 外积的定义 2.5.2 外积的公式 2.5.3 外积的几何意义 2.6 向量的叉积cross product (3维空间,勉强2维空间) 2.6.1 向量的叉积的定义 2.6.2 向量的叉积的适用范围 2.6.3 向量的叉积的公式 2.6.4 叉积符合的规律 2.6.5 向量的叉积的几何意义 2.7 向量的混合积 2.7.1 混合积 2.8 直积/笛卡尔乘积 2.8.1 直积的定义Cartesian product 2.8.3 笛卡尔乘积的公式 2.9 克罗内克积, Kronecker product 2.9.1 克罗内克积的定义 2.9.2 计算公式 2.10 哈达玛积 Hadamard product 2.10.1 哈达玛积定义 2.10.2 计算公式 2.11 张量积 tensor product) 2.11.1 张量积的定义 2.12 总结(很多深度知识不懂,暂时这么总结吧 - -!) 3 用EXCEL和python计算向量的点积和叉积 (以后看看有没必要加VBA的) 3.1 EXCEL里矩阵计算的相关公式 3.2 EXCEL如何计算2个向量的点积,叉积 3.2.1 EXCEL计算2个向量的点积的方法 编辑 3.2.2 用EXCEL计算两个向量叉积的方法 3.2.3 用EXCEL计算2个2维向量的点积和叉积 3.2.4 用EXCEL计算2维向量的点积和叉积 编辑 3.3 用python的 numpy 计算两个向量的内积 3.3.1 numpy相关的点乘和叉乘公式 3.3.2 numpy分别计算2维向量的点积和叉积 3.3.3 numpy分别计算3维向量的点积和叉积 4 用EXCEL和python计算向量组的点积和叉积 4.1 EXCEL里计算向量组的点积 4.1.1 EXCEL向量组的点积公式 4.1.2 EXCEL里向量组的叉积公式 4.1.3 下面是2维矩阵和3维矩阵的点积,叉积的计算 4.2 python里向量组/矩阵的乘法 4.2.1 关于2个2*2矩阵的点积和叉积 4.2.2 关于2个3*3矩阵的点乘和叉乘 5 点积和叉积的数学计算总结 5.1 点积计算 5.1.1 如果是向量的点积 5.1.2 如果是矩阵的点积 5.2 叉积计算 5.2.1 向量的的叉积计算 5.2.2 矩阵的叉积计算 5.3 向量的点积,叉积 5.4 矩阵的点积,叉积 1 乘法 1.1 标量乘法(中小学乘法) 1.1.1 乘法的定义 乘法的定义 a*b= a个b之和a*b= a 的 b 倍2*3=3+3=6距离类型 欧氏距离曼哈顿距离等等这里的距离,一般都是欧氏距离 欧氏距离distance(a,b)=sqrt((a-b)*(a-b))欧氏距离=坐标轴里每个分量相减平方和再开方distance(a,b)sqrt((Va1-Vb1)^2 + (Va2-Vb2)^2 + ... + (Van-Vbn)^2) 2 向量的各种乘法 2.1 向量的标量乘法(即:向量乘1个常数) 向量的标量乘法λ是标量,数字,不是向量公式 λ*A = λ* 向量A的每个元素λ*A= λ*[a11,a12 ... a1m] =[λ*a11,λ*a12 ... λ*a1m]其中 矩阵的标量乘法 λ*A=λ*每个元素,*A*B=A*λ*B行列式的标量乘法,λ*|A|=λ*某1行/列 2.2 通用的向量/矩阵乘法 (Matrix Multiply) Standard matrix multiplication最一般的矩阵间乘法矩阵乘法 (Matrix Multiply)用于矩阵相乘,A,B均为矩阵,A的维度为m*p,B的维度为p*n,则A*B的结果为m*n的矩阵。矩阵乘法是通用的,所有向量,矩阵理论上都可以按此计算,但是有一个前提要求:必须满足:左边的矩阵A(n*p) 列数p= 右边矩阵B(p*m)的行数p公式 矩阵乘法的公式 C=A*B是C的每个元素,cij=Σ a的第1行*b的第1列公式 2.3 向量的内积(数量积) inner product 2.3.1 内积的定义(适合N维空间中) inner product是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算名称:向量的数量积,向量的内积,矩阵的内积相关概念Inner product space 2.3.2 内积的计算公式: 两个向量的分量相乘然后相加求和,结果是1个标量内积的要求:两个向量完全相同A(n)∙ B(n)两个向量组/矩阵完全相同A(m,n)∙ B(m,n)公式 N维空间中 A(n)∙ B(n)=a1b1+a2b2+.....an*bn=Σaibi外积就不一样了,一定是A投影B,因为要用右手确定结果向量的方向,有前后顺序之分。否则就是反方向,负交换律,A*B = - B*A 2.4.3 点积除了二维空间,还可以三维空间应用吗? 点积在二维空间,a*b=|a||b|*cosθ点积在三维空间,a*b=|a||b|*cosθ我觉得三维空间也可以a,b 只是表示乘3维空间的坐标形式即可,比如a(a1*i,a2*j,a3*j) ,b(b1*i,b2*j,b3*j) 因为3维空间里也有2维空间,也可以算出cosθ 2.4.4 点乘和点积的定义点乘:(Pointwise Multiply) Pointwise Multiply点乘的结果就是点积点积 点积, 也标准内积,欧几里得内积dot product公式 用于矩阵相乘,A,B为维度大小完全相同的矩阵即A的行数=B的行数,A的列数=B的列数,实际计算的时候,点积=行向量*列向量在运算时,AB矩阵的对应位置的元素相乘。若AB均为mn的矩阵,则其点乘的结果仍为一个mn的矩阵。两个向量的分量相乘然后相加求和 公式1:a*b=Σ(a1b1+a2b2+.....anbn)公式2:点积=行向量*列向量公式3:二维空间中,a*b=|a||b|*cosθ 2.4.5 点积符合的规律 交换律:a∙b= b∙a分配律:k*(a+b) =k*a+k∙b结合律:c∙(a∙b)= (c∙a)∙b任何向量*0向量=0向量方向性 0-90度 ,点积>0 ,两个向量方向相同90 点积=0,向量垂直正交90-180 ,点积 |
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