利用熟悉的Excel绘图功能，可以根据距离-高程散点数据拟合线性趋势线，如图1显示（河流阶地地形数据）。趋势线按如下方式插入：右击图表上的数据，添加趋势线，在图表上显示方程和 R 2 R^2 R2值。然而，趋势线函数并没有给出与线性拟合的斜率和截距相关的方差值。获得斜率和截距选定的置信区间（例如95%置信区间）对于精确测量断层变形量与滑动速率十分重要。因此，我们需要计算斜率与截距的方差值。Excel的LINESET函数提供这种统计测量。下文介绍了使用LINEST的基本步骤与原理（Morrison, 2014）。 图1. 拔河高度随距离的函数。利用Excel的趋势线特性对数据进行拟合；直线方程和拟合系数R2值如图所示。

  使用MS Excel的 LINEST函数 进行最小二乘计算。对于图1所示数据，应用LINEST步骤如下：

  LINEST执行最小二乘运算求解最佳拟合直线的斜率和截距（图4，Wikipedia, 2014b）。最佳线性拟合对应拟合直线和数据之间的平方和误差值最小。通常，最小二乘计算中，假设x值没有误差（图4），详细推导见文献（Montgomery and Runger, 2011; McCuen, 1985），本文仅作简短讨论。 图4. 因变量y的平均值是参数（斜率和截距）和变量x的线性组合。通常最小二乘算法假设数据的x值不存在误差，响应变量y的残差计算为 y i − y ^ i y_i-\widehat{y}_i yi​−y ​i​，即点与直线之间的垂直距离(左图)。若x中的误差也存在，点和直线之间的最短距离是垂直距离，如右图所示。各因变量 y i y_i yi​的误差是互不相关的，即每个 y i y_i yi​之间不存在协方差。

  值（xi, yi）是n个数据对的集合，我们希望拟合一条线； y ˉ ≡ ( ∑ i = 1 n y i ) / n \bar{y}≡(\sum_{i=1}^n y_i )/n yˉ​≡(∑i=1n​yi​)/n是yi的均值，并且线性拟合是 y ^ ( x ) = m ^ x + b ^ \widehat{y}(x)=\widehat{m}x+\widehat{b} y ​(x)=m x+b ，为了解释Excel返回的误差统计值，首先定义三个平方和： S S y y SS_{yy} SSyy​, S S E SS_E SSE​, 和 S S R SS_R SSR​

总平方和   S S T SS_T SST​= S S y y SS_{yy} SSyy​= ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2 i=1∑n​(yi​−yˉ​)2    (1) 误差平方和   S S E SS_E SSE​≡ ∑ i = 1 n ( y i − y ^ ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(y_i-\widehat{y})^2 i=1∑n​(yi​−y ​)2    (2) 回归平方和   S S R SS_R SSR​≡ S S T − S S E SS_T-SS_E SST​−SSE​    (3)

   S S y y SS_{yy} SSyy​是数据 y i y_i yi​与均值 y ^ \widehat{y} y ​之间误差平方和； S S E SS_E SSE​是数据 y i y_i yi​和拟合值 y ^ ( x ) \widehat{y}(x) y ​(x)= m ^ x + b ^ \widehat{m}x+\widehat{b} m x+b 之间的误差平方和； S S R SS_R SSR​是二者之差，代表总平方和中可以用线性模型值解释的部分。在最小二乘计算中，目标是找到最小化的 S S E SS_E SSE​，计算过程还涉及到两个平方和公式： S S x x SS_{xx} SSxx​≡ ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 i=1∑n​(xi​−xˉ)2   (4) S S x y SS_{xy} SSxy​≡ ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) \sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) i=1∑n​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)   (5) 其中 x ˉ \bar{x} xˉ≡ ( ∑ i = 1 n x i ) / n (\sum_{i=1}^nx_i )/n (∑i=1n​xi​)/n是 x i x_i xi​的平均值。

将n个数据点（ x i x_i xi​, y i y_i yi​）拟合的线性模型： y ^ ( x ) = m ^ x + b ^ \widehat{y}(x)=\widehat{m}x+\widehat{b} y ​(x)=m x+b    (6)

m，斜率的最小二乘估计值——通常为最佳拟合直线的斜率。 m ^ \widehat{m} m = ( n ∑ i = 1 n x i y i − ( ∑ i = 1 n x i ) ( ∑ i = 1 n y i ) ( n ∑ i = 1 n x i 2 − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 ) \frac{(n\sum_{i=1}^nx_i y_i-(\sum_{i=1}^nx_i)(\sum_{i=1}^ny_i)}{(n\sum_{i=1}^nx_i^2-(\sum_{i=1}^nx_i)^2 )} (n∑i=1n​xi2​−(∑i=1n​xi​)2)(n∑i=1n​xi​yi​−(∑i=1n​xi​)(∑i=1n​yi​)​= ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − y ˉ ) 2 \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{y})^2} ∑i=1n​(xi​−yˉ​)2∑i=1n​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)​= S S x y S S x x \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} SSxx​SSxy​​   (7)

b，截距的最小二乘估计值——通常为最佳拟合直线的截距。 b ^ \widehat{b} b = ( ∑ i = 1 n x i ) 2 ( ∑ i = 1 n y i ) − ( ∑ i = 1 n x i y i ) ( ∑ i = 1 n x i ) ( n ∑ i = 1 n x i 2 − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 ) \frac{(\sum_{i=1}^nx_i )^2 (\sum_{i=1}^ny_i)-(\sum_{i=1}^nx_iy_i)(\sum_{i=1}^nx_i)}{(n\sum_{i=1}^nx_i^2 -(\sum_{i=1}^nx_i)^2)} (n∑i=1n​xi2​−(∑i=1n​xi​)2)(∑i=1n​xi​)2(∑i=1n​yi​)−(∑i=1n​xi​yi​)(∑i=1n​xi​)​= y ˉ − m ^ x ˉ \bar{y}-\widehat{m}\bar{x} yˉ​−m xˉ   (8)

n-p, 最小二乘回归自由度。有n个数据点，p = 2个回归参数（m和b）。在进行最小二乘计算之前，有n个自由度，计算斜率和截距时使用了两个自由度，在以后的计算中留下n-2个自由度。

S y , x S_{y,x} Sy,x​，y(x)的标准偏差（y(x)方差 S y , x 2 S_{y,x}^2 Sy,x2​的平方根）： S y , x 2 S_{y,x}^2 Sy,x2​= ( 1 n − 2 ) ∑ i = 1 n ( y i − y ^ ) 2 (\frac{1}{n-2})\sum_{i=1}^n(y_i-\widehat{y})^2 (n−21​)∑i=1n​(yi​−y ​)2= S S E n − 2 \frac{SS_E}{n-2} n−2SSE​​   (9)

S m S_m Sm​，坡度 m ^ \widehat{m} m 标准差（ S m 2 S_m^2 Sm2​的平方根，m ̂的方差）。 S m 2 S_m^2 Sm2​= S ( y , x ) 2 S S x x \frac{S_(y,x)^2}{SS_{xx}} SSxx​S(​y,x)2​   (10) 其中 S y , x 2 S_{y,x}^2 Sy,x2​是y(x)的方差（见方程9）。为了求得计算的\widehat{m}和\widehat{b}的置信区间，我们采用t分布和n-2自由度（Montgomery and Runger, 2011）。对于自由度大于或等于6， t α / 2 , n − 2 ≥ 6 ≈ 2 t_{α/2,n-2≥6}≈2 tα/2,n−2≥6​≈2（α=0.05，误差为一个有效数字）。 坡度95%置信区间（α=0.05）： m ^ ± t 0.025 , n − 2 S m \widehat{m}±t_{0.025,n-2}S_m m ±t0.025,n−2​Sm​ (11)           ≅ m ^ ± 2 S m \widehat{m}±2S_m m ±2Sm​, ( n − 2 ) ≥ 6 (n-2)≥6 (n−2)≥6  (12)

S b S_b Sb​，截距b ̂的标准差（ S b 2 S_b^2 Sb2​的平方根，\widehat{b}的方差）。\widehat{b}的置信区间由 S b S_b Sb​和具有n-2自由度的t分布获得。 S b 2 S_b^2 Sb2​= S y , x 2 ∑ i = 1 n x i 2 n S S x x \frac{S_{y,x}^2 \sum_{i=1}^nx_i^2}{nSS_{xx}} nSSxx​Sy,x2​∑i=1n​xi2​​= S y , x 2 ( 1 n + x ˉ 2 S S ) S_{y,x}^2(\frac1n+\frac{\bar{x}^2}{SS}) Sy,x2​(n1​+SSxˉ2​)   (13) 截距95%置信区间（α=0.05）： b ^ ± t 0.025 , n − 2 S b \widehat{b}±t_{0.025,n-2}S_b b ±t0.025,n−2​Sb​ (14)           ≅ m ^ ± 2 S b \widehat{m}±2S_b m ±2Sb​, ( n − 2 ) ≥ 6 (n-2)≥6 (n−2)≥6  (15)

误差的残差平方和 S S E SS_E SSE​——数据 y i y_i yi​和线性模拟值 y ^ i \widehat{y}_i y ​i​之差的平方和；一种线性模型y数据的误差度量。当 S S E SS_E SSE​→0时，所有的总误差 S S T SS_T SST​都可以用线性模型来解释，可以认为线性模型是一个很好的拟合（方程2）。 S S E SS_E SSE​≡ ∑ i = 1 n ( y i − y ^ ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(y_i-\widehat{y})^2 i=1∑n​(yi​−y ​)2    (2)

回归平方和 S S R SS_R SSR​——总平方和中可以用线性模型值解释的部分（方程3）： S S R SS_R SSR​≡ S S T − S S E SS_T-SS_E SST​−SSE​    (3)

R 2 R^2 R2决定系数——线性模型解释的 y i y_i yi​变量分数： R 2 R^2 R2= e x p l a i n e d e r r o r t o t a l e r r o r \frac{explained error}{total error} totalerrorexplainederror​= S S R S S T \frac{SS_R}{SS_T} SST​SSR​​= S S T − S S E S S T \frac{SS_T-SS_E}{SS_T} SST​SST​−SSE​​ 当线性模型拟合很好时，数据 y i y_i yi​与模型之间的偏差很小， S S E SS_E SSE​→0， R 2 R^2 R2=1。因此，决定系数是一种拟合优度的度量，该值越接近1，表明拟合的越好。但是，当拟合模型是一条水平线时，即 y ^ \widehat{y} y ​= y ^ \widehat{y} y ​，则 S S T SS_T SST​= S S E SS_E SSE​，此时 R 2 R^2 R2为0。

Fisher F 统计——用于回归测试，以查看使用两个参数（斜率和截距）是否优于使用一个参数（ y ^ \widehat{y} y ​= y ^ \widehat{y} y ​；即坡度m为0，y=截距b）。回归统计F计算为两个量的比率，即模型能够解释的方差与模型不能解释的方差的比率： F= ( ′ l a c k o f f i t ′ s u m o f s q u a r e s / v 1 ) ′ p u r e e r r o r ′ s u m o f s q u a r e s ) / v 2 (\frac{'lack of fit' sum of squares/v_1)}{'pure error' sum of squares)/v_2} (′pureerror′sumofsquares)/v2​′lackoffit′sumofsquares/v1​)​= S S R / v 1 S S T / v 2 \frac{SS_R/v_1}{SS_T/v_2} SST​/v2​SSR​/v1​​= S S T − S S E S y , x 2 \frac{SS_T-SS_E}{S_{y,x}^2} Sy,x2​SST​−SSE​​ 其中 v 1 v_1 v1​=1和 v 1 v_1 v1​=n-2是每个变量的自由度。这个比率是一个具有F( v 1 v_1 v1​, v 2 v_2 v2​)分布且自由度为 v 1 v_1 v1​=1和 v 1 v_1 v1​=n-2的随机变量的计算值。如果F> F c r i t F_crit Fc​rit，使用线性模型 y ^ = m ^ x + b ^ \widehat{y}=\widehat{m}x+\widehat{b} y ​=m x+b 比使用模型 y ^ \widehat{y} y ​= y ˉ \bar{y} yˉ​合理（在(1-α)%置信区间）。 F c r i t F_crit Fc​rit对应于具有期望的α置信水平的F( v 1 v_1 v1​, v 2 v_2 v2​)分布的累积分布函数，自由度为 v 1 v_1 v1​和 v 2 v_2 v2​。

  在方程12和15中，我们给出了两个模型参数 m ^ \widehat{m} m 和 b ^ \widehat{b} b 的95%置信区间。当模型参数 m ^ \widehat{m} m 和 b ^ \widehat{b} b 直接用于后续的计算时，这些置信区间适用于误差传播计算。   当模型方程用于在选定的x值处估计y值时，具有不同的误差范围。这里讨论最常见的情况。   用选定的x值估计最佳y值。任意点上y的最佳值是该点上y所有可能观测值的均值。设x的取值为 x p x_p xp​, x在该点的最佳估计值为 y p y_p yp​，由下式给出： y p = m ^ x p + b ^ y_p=\widehat{m}x_p+\widehat{b} yp​=m xp​+b    (18) y p y_p yp​的方差由方程18和误差传播计算而来，斜率和截距不是独立的变量增加了其复杂性，因此 m ^ \widehat{m} m 和 b ^ \widehat{b} b 之间的协方差非零。y在 x p x_p xp​处的均值方差为：   y在 x p x_p xp​的均值方差: S y , x 2 ( 1 n + ( x p − x ˉ ) 2 S S x x ) S_{y,x}^2(\frac1n+\frac{(x_p-\bar{x})^2}{SS_{xx}}) Sy,x2​(n1​+SSxx​(xp​−xˉ)2​)  (19) y在y_p处的均值置信区间根据符合t分布且自由度为(n-2)的标准差得到（Montgomery and Runger, 2011）： y在 x p x_p xp​的均值置信区间： ( m ^ x p + b ^ ) ± t ( α / 2 , n − 2 ≥ 6 ) s y , x 1 n + ( x p − x ˉ ) 2 S S x x (\widehat{m}x_p+\widehat{b})±t_{(α/2,n-2≥6)} s_{y,x}\sqrt{{\frac1n}+\frac{(x_p-\bar{x})^2}{SS_{xx}}} (m xp​+b )±t(α/2,n−2≥6)​sy,x​n1​+SSxx​(xp​−xˉ)2​ ​  (20) 方程20是基于最小二乘法最佳拟合得到的y值误差的合理区间（图5）。由此可知。误差条在回归( x ˉ \bar{x} xˉ, y ˉ \bar{y} yˉ​)的中心点附近最窄，并向两端呈扇形展开。这反映了这样一个事实，即斜率的不确定性使得x范围两端的值不如中心附近的点确定。 图5. 图1中数据的拟合线（红色）与95%置信区间。外层的一对线(绿色和紫色)反映了在每个x值处y新值的95%预测区间。

[1]: D. C. Montgomery and G. C. Runger., 2011. Applied Statistics and Probability for Engineers, 5th edition (Wiley, New York). [2]: Morrison, F. A., 2014. Obtaining uncertainty measures on slope and intercept of a least squares fit with Excel’s LINEST. Houghton, MI: Department of Chemical Engineering, Michigan Technological University. Retrieved August, 2014, 6: 2015. [3]: R. H. McCuen., 1985. Statistical Methods for Engineers (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ). [4]: Wikipedia., 2014. “Ordinary Least Squares,” Wikipedia, the Free Encyclopedia, en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_least_squares, accessed 14 July 2014.