矩阵的三角分解是求解线性方程组常用的方法，包括LU分解，LDU分解，杜利特(Doolittle)分解，克劳特(Crout)分解，LLT(乔累斯基Cholesky)分解，LDLT(不带平方根乔累斯基)分解等，以及为了满足分解条件又加入行列变换的LPU分解，PLU分解，LUP分解，LDPU分解等。这里矩阵的三角分解系列教程主要是针对在学习三角分解时候的涉及到的一些细节，包括很多方法的来源和证明等，以及其中用到的一些矩阵操作的基础知识，主要包括：

这个系列后面文章会用到前面文章的理论和技术，所以建议按照顺序查看。

之前[矩阵的三角分解系列三] 杜利特/克劳特分解公式文章介绍了针对一般的 n n n阶方阵 A \boldsymbol{A} A的三角分解的方法，但对于一些特殊的公式在分解时候会满足某些特定的性质可以减少分解的计算，类似乔累斯基(Cholesky)分解这种。

如果 A \boldsymbol{A} A是 n n n阶对称正定矩阵，则存在 A = L L T , (1) \boldsymbol{A} = \boldsymbol{L L^{\mathrm{T}}}, \tag{1} A=LLT,(1) 如果限定 L \boldsymbol{L} L对角元素为正，则这个分解是唯一的，其中 L \boldsymbol{L} L是下三角矩阵。

因为 A \boldsymbol{A} A是对称正定的，所以根据性质可知它的各阶顺序主子式均为正 Δ k > 0 ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) \Delta_k > 0(k=1,2,\cdots,n) Δk​>0(k=1,2,⋯,n)。所以由前面的LDU基本定理可知 A \boldsymbol{A} A可以被唯一的分解为 A = L ~ D U ~ \boldsymbol{A= \widetilde{L} D \widetilde{U}} A=L DU 又知 L ~ \widetilde{\boldsymbol{L}} L 是单位上三角矩阵， U ~ \widetilde{\boldsymbol{U}} U 是单位下三角矩阵， D \boldsymbol{D} D是对角矩阵 D = diag ⁡ ( d 1 , d 2 , ⋯   , d n ) \boldsymbol{D}=\operatorname{diag}(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}) D=diag(d1​,d2​,⋯,dn​)。 又因为 A \boldsymbol{A} A是对称矩阵，所以有 A = L ~ D U ~ = A T = ( L ~ D U ~ ) T = U ~ T D T L ~ T \boldsymbol{A= \widetilde{L} D \widetilde{U} = A^{\mathrm{T}} = ( \widetilde{L} D \widetilde{U})^{\mathrm{T}}=\widetilde{U}^{\mathrm{T}} D ^{\mathrm{T}} \widetilde{L}^{\mathrm{T}} } A=L DU =AT=(L DU )T=U TDTL T 又知道分解是唯一的，所以 L ~ = U ~ T , U ~ = L ~ T , \boldsymbol{\widetilde{L} = \widetilde{U}^{\mathrm{T}}, \widetilde{U} = \widetilde{L}^{\mathrm{T}}}, L =U T,U =L T, 所以 A \boldsymbol{A} A的三角分解又可以写成 A = L ~ D L ~ T = U ~ T D U ~ \boldsymbol{A = \widetilde{L} D \widetilde{L}^{\mathrm{T}} = \widetilde{U}^{\mathrm{T}} D \widetilde{U}} A=L DL T=U TDU 后面讲解以 A = U ~ T D U ~ \boldsymbol{A = \widetilde{U}^{\mathrm{T}} D \widetilde{U}} A=U TDU 为例，因为 ∣ U ~ ∣ = 1 ≠ 0 |\widetilde{\boldsymbol{U}}| = 1 \neq 0 ∣U ∣=1​=0，所以 U ~ \widetilde{\boldsymbol{U}} U 是可逆的，可得 D = ( U ~ T ) − 1 A U ~ − 1 = ( U ~ − 1 ) T A U ~ − 1 \boldsymbol{D = (\widetilde{U}^{\mathrm{T}})^{-1} A \widetilde{U}^{-1} = (\widetilde{U}^{-1})^{\mathrm{T}} A \widetilde{U}^{-1}} D=(U T)−1AU −1=(U −1)TAU −1 又因为 A \boldsymbol{A} A是正定矩阵，又当 x ≠ 0 \boldsymbol{x} \neq 0 x​=0，明显 U ~ − 1 x ≠ 0 \boldsymbol{\widetilde{U}^{-1}x} \neq 0 U −1x​=0，所以 x T D x = x T ( U ~ − 1 ) T A U ~ − 1 x = ( U ~ − 1 x ) T A U ~ − 1 x > 0 \boldsymbol{x^{\mathrm{T}} D x =x^{\mathrm{T}} (\widetilde{U}^{-1})^{\mathrm{T}} A \widetilde{U}^{-1} x = (\widetilde{U}^{-1}x)^{\mathrm{T}} A \widetilde{U}^{-1} x} > 0 xTDx=xT(U −1)TAU −1x=(U −1x)TAU −1x>0 所以 D \boldsymbol{D} D也是正定矩阵，那么所有的一阶主子式(对角元素) d i > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) d_i > 0(i=1,2,\cdots,n) di​>0(i=1,2,⋯,n)，所以令 D 1 2 = diag ⁡ ( d 1 , d 2 , ⋯   , d n ) , \boldsymbol{D}^{\frac{1}{2}}=\operatorname{diag}(\sqrt{d_{1}}, \sqrt{d_{2}}, \cdots, \sqrt{d_{n}}), D21​=diag(d1​ ​,d2​ ​,⋯,dn​ ​), 则 A \boldsymbol{A} A又可以被唯一的分解为 A = L ~ D U ~ = L ~ D 1 2 D 1 2 L ~ T = ( L ~ D 1 2 ) ( L ~ D 1 2 ) T = L L T \boldsymbol{A = \widetilde{L} D \widetilde{U} = \widetilde{L}} \boldsymbol{D}^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{D}^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{\widetilde{L}^{\mathrm{T}}} = (\boldsymbol{\widetilde{L}} \boldsymbol{D}^{\frac{1}{2}})(\boldsymbol{\widetilde{L}} \boldsymbol{D}^{\frac{1}{2}})^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{L L^{\mathrm{T}}} A=L DU =L D21​D21​L T=(L D21​)(L D21​)T=LLT 其中 L = L ~ D 1 2 \boldsymbol{L}=\boldsymbol{\widetilde{L}} \boldsymbol{D}^{\frac{1}{2}} L=L D21​对对角线元素全为正数 d 1 , d 2 , ⋯   , d n \sqrt{d_{1}}, \sqrt{d_{2}}, \cdots, d_{n} d1​ ​,d2​ ​,⋯,dn​的下三角矩阵。

公式 ( 1 ) (1) (1)证明完成！！!

公式 ( 1 ) (1) (1)是对称正定矩阵 A \boldsymbol{A} A的乔累斯基(Cholesky)分解，亦称为平方根分解。

下面给出进行乔累斯基(Cholesky)分解具体分解公式和步骤，对于 n n n阶对称正定矩阵 A \boldsymbol{A} A，有分解式 A = L L T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{L L^{\mathrm{T}}} A=LLT 即 [ a 11 ⋯ a 1 j ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 ⋯ a i j ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n j ⋯ a n n ] = [ l 11 ⋮ ⋱ l i 1 ⋯ l i i ⋮ ⋱ l n 1 ⋯ l n i ⋯ l n n ] [ l 11 ⋯ l j 1 ⋯ l n 1 ⋱ ⋮ l j j ⋯ l n j ⋱ ⋮ l n n ] \left[\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} l_{11} & & & & \\ \vdots & \ddots & & & \\ l_{i 1} & \cdots & l_{i i} & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ l_{n 1} & \cdots & l_{n i} & \cdots & l_{n n} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} l_{11} & \cdots & l_{j 1} & \cdots & l_{n 1} \\ & \ddots & & & \vdots \\ & & l_{j j} & \cdots & l_{n j} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & l_{n n} \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​a11​⋮ai1​⋮an1​​⋯⋯⋯​a1j​⋮aij​⋮anj​​⋯⋯⋯​a1n​⋮ain​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​l11​⋮li1​⋮ln1​​⋱⋯⋯​lii​lni​​⋱⋯​lnn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​l11​​⋯⋱​lj1​ljj​​⋯⋯⋱​ln1​⋮lnj​⋮lnn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​ 由于 A \boldsymbol{A} A对称，所以只考虑下三角元素，即 i ≥ j i \geq j i≥j的情况，有 a i j = ∑ k = 1 j l i k l j k = ∑ k = 1 j − 1 l i k l j k + l i j l j j , a_{i j} = \sum_{k=1}^{j}l_{ik}l_{jk} = \sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk} + l_{ij}l_{jj}, aij​=k=1∑j​lik​ljk​=k=1∑j−1​lik​ljk​+lij​ljj​, 即 l i j = ( a i j − ∑ k = 1 j − 1 l i k l j k ) / l j j , i ≥ j , (2) l_{ij} = \left( a_{i j}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk} \right) / l_{jj}, \quad i\geq j, \tag{2} lij​=(aij​−k=1∑j−1​lik​ljk​)/ljj​,i≥j,(2) 而且当 i = j i=j i=j时，有 l i i = a i i − ∑ k = 1 i − 1 l i k 2 . (3) l_{ii} = \sqrt{a_{i i}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}^2}. \tag{3} lii​=aii​−k=1∑i−1​lik2​ ​.(3) 这里与克劳特三角分解公式不同的是矩阵 U = L T \boldsymbol{U=L^{\mathrm{T}}} U=LT，所以在求得 L \boldsymbol{L} L的第 i i i行元素之后， L T \boldsymbol{L^{\mathrm{T}}} LT的第 i i i列元素也已求出，所以计算量相当于克劳特分解的一半左右(当然对角线元素是都需要求一次)。

同时又有 a i i = ∑ k = 1 i l i k 2 , i = 1 , 2 , ⋯   , n a_{i i} = \sum_{k=1}^{i}l_{ik}^2, \quad i = 1,2,\cdots,n aii​=k=1∑i​lik2​,i=1,2,⋯,n 所以 l i k 2 ≤ a i i ≤ max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { a i i } l_{ik}^2 \leq a_{i i} \leq \max_{1 \leq i \leq n}\{ a_{i i} \} lik2​≤aii​≤1≤i≤nmax​{aii​} 于是 max ⁡ i , k { l i k 2 } ≤ max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { a i i } , \max_{i,k}\{ l_{ik}^2 \} \leq \max_{1 \leq i \leq n}\{ a_{i i} \}, i,kmax​{lik2​}≤1≤i≤nmax​{aii​}, 以上分析说明，分解过程中元素 l i k l_{ik} lik​的数量级完全可以控制，从而计算过程是稳定的。

然而，公式 ( 1 ) (1) (1)这种 L L T \boldsymbol{L L^{\mathrm{T}}} LLT分解也还是存在很大的缺陷的，因为计算这种分解要进行 n n n次开方运算，而绝大多数计算机上的开方运算是用子程序实现的(转化成对数计算)，这样不仅增加了计算量，而且还会扩大误差，甚至计算过程中有平方根号下出现负数的风险。为了避免上面的平方根运算，只需要在公式 ( 1 ) (1) (1)中的 L \boldsymbol{L} L和 L T \boldsymbol{L^{\mathrm{T}}} LT之间插入一个特殊的对角矩阵 D \boldsymbol{D} D，就能达到预定的效果。 如果 A \boldsymbol{A} A是 n n n阶对称正定矩阵，则 A \boldsymbol{A} A可以唯一的分解为 A = L D L T , (4) \boldsymbol{A} = \boldsymbol{L D L^{\mathrm{T}}}, \tag{4} A=LDLT,(4) 其中 L \boldsymbol{L} L是下三角矩阵，其中 D \boldsymbol{D} D是对角矩阵，且对角线元素是 L \boldsymbol{L} L对角线元素的倒数，即 L = [ l 11 l 21 l 22 ⋮ ⋮ ⋱ l n 1 l n 2 ⋯ l n n ] , D = [ 1 l 11 1 l 22 ⋱ 1 l 22 ] . \boldsymbol{L} = \left[\begin{matrix} l_{11} \\ l_{21} & l_{22} \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ l_{n 1} & l_{n 2} & \cdots & l_{n n} \end{matrix}\right] , \quad \boldsymbol{D} = \left[\begin{matrix} \frac{1}{l_{11}} \\ & \frac{1}{l_{22}} \\ & & \ddots \\ & & & \frac{1}{l_{22}} \end{matrix}\right]. L=⎣⎢⎢⎢⎡​l11​l21​⋮ln1​​l22​⋮ln2​​⋱⋯​lnn​​⎦⎥⎥⎥⎤​,D=⎣⎢⎢⎡​l11​1​​l22​1​​⋱​l22​1​​⎦⎥⎥⎤​.

利用特劳特分解公式以及矩阵对称性 a i j = a = j i a_{ij} = a={ji} aij​=a=ji就能推出公式 ( 4 ) (4) (4)了。证明如下 A = [ l 11 l 21 l 21 ⋮ ⋮ ⋱ l n 1 l n 2 ⋯ l n n ] [ 1 u 12 ⋯ u 1 n 1 ⋯ u 2 n ⋱ ⋮ 1 ] \boldsymbol{A} = \left[\begin{matrix} l_{11} \\ l_{2 1} & l_{2 1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ l_{n 1} & l_{n 2} & \cdots & l_{n n} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & u_{12} & \cdots & u_{1 n} \\ & 1 & \cdots & u_{2 n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & 1 \end{matrix}\right] A=⎣⎢⎢⎢⎡​l11​l21​⋮ln1​​l21​⋮ln2​​⋱⋯​lnn​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​1​u12​1​⋯⋯⋱​u1n​u2n​⋮1​⎦⎥⎥⎥⎤​ 其中 { u 12 = a 12 / l 11 = a 21 / l 11 = l 21 / l 11 ⋮ u 1 n = l n 1 / l 11 { u 23 = ( a 23 − l 21 u 13 ) / l 22 = ( a 32 − l 21 l 31 / l 11 ) / l 22 = ( a 32 − l 31 u 12 ) / l 22 = l 32 / l 22 ⋮ u 2 n = l n 2 / l 22 \begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} u_{12}=& a_{12} / l_{11}=a_{21} / l_{11}=l_{21} / l_{11} \\ \vdots \\ u_{1 n}=& l_{n 1} / l_{11} \end{aligned}\right. \\ &\left\{\begin{aligned} u_{23}=&\left(a_{23}-l_{21} u_{13}\right) / l_{22}=\left(a_{32}-l_{21} l_{31} / l_{11}\right) / l_{22} \\ =&\left(a_{32}-l_{31} u_{12}\right) / l_{22}=l_{32} / l_{22} \\ \vdots \\ u_{2 n}=& l_{n 2} / l_{22} \end{aligned}\right. \end{aligned} ​⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​u12​=⋮u1n​=​a12​/l11​=a21​/l11​=l21​/l11​ln1​/l11​​⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​u23​==⋮u2n​=​(a23​−l21​u13​)/l22​=(a32​−l21​l31​/l11​)/l22​(a32​−l31​u12​)/l22​=l32​/l22​ln2​/l22​​​ 以此类推， U \boldsymbol{U} U的第 j j j行元素有 { u j , j + 1 = l j + 1 , j / l j j , j = 1 , ⋯   , n − 1 , ⋮ u j n = l n j / l j j \left\{\begin{aligned} & u_{j, j+1}=l_{j+1, j} / l_{j j}, \quad j=1, \cdots, n-1, \\ & \vdots \\ & u_{j n}=l_{n j} / l_{j j} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​​uj,j+1​=lj+1,j​/ljj​,j=1,⋯,n−1,⋮ujn​=lnj​/ljj​​ 于是可以推导出 U \boldsymbol{U} U为 U = [ 1 ⋯ l j 1 l 11 ⋯ l n 1 l 11 ⋱ ⋮ ⋮ 1 ⋯ l n j l j j ⋱ ⋮ 1 ] = [ 1 l 11 ⋱ 1 l j j ⋱ 1 l n n ] [ l 11 ⋯ l j 1 ⋯ l n 1 ⋱ ⋮ ⋮ l j j ⋯ l n j ⋱ ⋮ l n n ] = D L T \begin{aligned} \boldsymbol{U} & = \left[\begin{matrix} 1 & \cdots & \frac{l_{j 1}}{l_{11}} & \cdots & \frac{l_{n 1}}{l_{11}} \\ & \ddots & \vdots & & \vdots \\ & & 1 & \cdots & \frac{l_{n j}}{l_{j j}} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{matrix}\right] \\ & = \left[\begin{matrix} \frac{1}{l_{11}} \\ & \ddots \\ & & \frac{1}{l_{jj}} \\ & & & \ddots \\ & & & & \frac{1}{l_{nn}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} l_{11} & \cdots & l_{j 1} & \cdots & l_{n 1} \\ & \ddots & \vdots & & \vdots \\ & & l_{j j} & \cdots & l_{n j} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & l_{n n} \end{matrix}\right] = \boldsymbol{D L^{\mathrm{T}}} \end{aligned} U​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1​⋯⋱​l11​lj1​​⋮1​⋯⋯⋱​l11​ln1​​⋮ljj​lnj​​⋮1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​l11​1​​⋱​ljj​1​​⋱​lnn​1​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​l11​​⋯⋱​lj1​⋮ljj​​⋯⋯⋱​ln1​⋮lnj​⋮lnn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=DLT​ 所以有 L D L T \boldsymbol{L D L^{\mathrm{T}}} LDLT 公式 ( 15 ) (15) (15)是对称正定矩阵 A \boldsymbol{A} A的不带平方根乔累斯基(Cholesky)分解，亦称乔累斯基(Cholesky)分解的变形。

下面给出进行不带平方根乔累斯基(Cholesky)分解具体分解公式和步骤，对于 n n n阶对称正定矩阵 A \boldsymbol{A} A，有分解式 L D L T \boldsymbol{L D L^{\mathrm{T}}} LDLT 即 [ a 11 ⋯ a i 1 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 ⋯ a i i ⋯ a n i ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n i ⋯ a n n ] = [ l 11 ⋮ ⋱ l i 1 ⋯ l i i ⋮ ⋮ ⋱ l n 1 ⋯ l n i ⋯ l n n ] [ 1 ⋯ l j 1 l 11 ⋯ l n 1 l 11 ⋱ ⋮ ⋮ 1 ⋯ l n j l j j ⋱ ⋮ 1 ] \left[\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{i 1} & \cdots & a_{n 1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & \cdots & a_{i i} & \cdots & a_{n i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n i} & \cdots & a_{n n} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} l_{11} & & & & \\ \vdots & \ddots & & & \\ l_{i 1} & \cdots & l_{i i} & & \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \\ l_{n 1} & \cdots & l_{n i} & \cdots & l_{n n} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & \cdots & \frac{l_{j 1}}{l_{11}} & \cdots & \frac{l_{n 1}}{l_{11}} \\ & \ddots & \vdots & & \vdots \\ & & 1 & \cdots & \frac{l_{n j}}{l_{j j}} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​a11​⋮ai1​⋮an1​​⋯⋯⋯​ai1​⋮aii​⋮ani​​⋯⋯⋯​an1​⋮ani​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​l11​⋮li1​⋮ln1​​⋱⋯⋯​lii​⋮lni​​⋱⋯​lnn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1​⋯⋱​l11​lj1​​⋮1​⋯⋯⋱​l11​ln1​​⋮ljj​lnj​​⋮1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​ 由于 A \boldsymbol{A} A对称，所以只考虑下三角元素，即 i ≥ j i \geq j i≥j的情况，有 a i j = ∑ k = 1 j l i k ( l j k / l k k ) = ∑ k = 1 j − 1 l i k ( l j k / l k k ) + l i j , a_{i j} = \sum_{k=1}^{j}l_{ik}(l_{jk}/l_{kk}) = \sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}(l_{jk}/l_{kk}) + l_{ij}, aij​=k=1∑j​lik​(ljk​/lkk​)=k=1∑j−1​lik​(ljk​/lkk​)+lij​, 即 l i j = a i j − ∑ k = 1 j − 1 l i k l j k / l k k , i ≥ j , (5) l_{ij} = a_{i j}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk} / l_{kk}, \quad i\geq j, \tag{5} lij​=aij​−k=1∑j−1​lik​ljk​/lkk​,i≥j,(5) 而且当 i = j i=j i=j时，有 l i i = a i i − ∑ k = 1 j − 1 l i k 2 / l k k , (6) l_{ii} = a_{i i}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}^2 / l_{kk}, \tag{6} lii​=aii​−k=1∑j−1​lik2​/lkk​,(6) 这样做分解计算就不会出现开方的运算，弥补了公式 ( 1 ) (1) (1)平方根分解的缺陷。因此， L D L T \boldsymbol{L D L T} LDLT是求解对称正定线性方程组最常用的一个分解公式。

将下列矩阵进行乔累斯基(Cholesky)分解 A = [ 2 1 1 1 3 2 1 2 2 ] . \boldsymbol{A} = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} \right]. A=⎣⎡​211​132​122​⎦⎤​. 解： 根据公式 ( 13 ) (13) (13)和公式 ( 14 ) (14) (14)可得 l 11 = a 11 = 2 l 21 = a 21 / l 11 = 2 2 l 22 = a 22 − l 21 2 = 10 2 l 31 = a 31 / l 11 = 2 2 l 32 = ( a 32 − l 31 l 21 ) / l 22 = 3 10 10 l 33 = a 33 − l 31 2 − l 32 2 = = 15 5 \begin{aligned} l_{11} &= \sqrt{a_{11}}=\sqrt{2} \\ l_{21} &= a_{21}/ l_{11}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ l_{22} &=\sqrt{a_{22}-l_{21}^2}=\frac{\sqrt{10}}{2} \\ l_{31} &=a_{31}/ l_{11}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ l_{32} &=\left(a_{32}-l_{31}l_{21} \right) / l_{22}=\frac{3\sqrt{10}}{10} \\ l_{33} &=\sqrt{a_{33}-l_{31}^2-l_{32}^2}==\frac{\sqrt{15}}{5} \end{aligned} l11​l21​l22​l31​l32​l33​​=a11​ ​=2 ​=a21​/l11​=22 ​​=a22​−l212​ ​=210 ​​=a31​/l11​=22 ​​=(a32​−l31​l21​)/l22​=10310 ​​=a33​−l312​−l322​ ​==515 ​​​ 则 A = L L T = [ 2 2 2 10 2 2 2 3 10 10 15 5 ] [ 2 2 2 2 2 10 2 3 10 10 15 5 ] \boldsymbol{A} = \boldsymbol{L L^{\mathrm{T}}} = \left[ \begin{matrix} \sqrt{2} & \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{10}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{3\sqrt{10}}{10} & \frac{\sqrt{15}}{5} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ & \frac{\sqrt{10}}{2} & \frac{3\sqrt{10}}{10} \\ & & \frac{\sqrt{15}}{5} \end{matrix} \right] A=LLT=⎣⎢⎡​2 ​22 ​​22 ​​​210 ​​10310 ​​​515 ​​​⎦⎥⎤​⎣⎢⎡​2 ​​22 ​​210 ​​​22 ​​10310 ​​515 ​​​⎦⎥⎤​

将下列矩阵进行不带平方根乔累斯基(Cholesky)分解 A = [ 2 1 1 1 3 2 1 2 2 ] . \boldsymbol{A} = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} \right]. A=⎣⎡​211​132​122​⎦⎤​. 解： 根据公式 ( 16 ) (16) (16)和公式 ( 17 ) (17) (17)可得 l 11 = a 11 = 2 l 21 = a 21 = 1 l 22 = a 22 − l 21 2 / l 11 = 5 2 l 31 = a 31 = 1 l 32 = a 32 − l 31 l 21 / l 11 = 3 2 l 33 = a 33 − l 31 2 / l 11 − l 32 2 / l 22 = = 3 5 \begin{aligned} l_{11} &=a_{11}=2 \\ l_{21} &=a_{21}=1 \\ l_{22} &=a_{22}-l_{21}^2/l_{11}=\frac{5}{2} \\ l_{31} &=a_{31}=1 \\ l_{32} &=a_{32}-l_{31}l_{21} / l_{11}=\frac{3}{2} \\ l_{33} &=a_{33}-l_{31}^2/l_{11}-l_{32}^2/l_{22}==\frac{3}{5} \end{aligned} l11​l21​l22​l31​l32​l33​​=a11​=2=a21​=1=a22​−l212​/l11​=25​=a31​=1=a32​−l31​l21​/l11​=23​=a33​−l312​/l11​−l322​/l22​==53​​ 则 A = L D L T = [ 2 1 5 2 1 3 2 3 5 ] [ 1 2 2 5 5 3 ] [ 2 1 1 5 2 3 2 3 5 ] \boldsymbol{A} = \boldsymbol{L D L^{\mathrm{T}}} = \left[ \begin{matrix} 2 & \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & \\ & \frac{2}{5} \\ & & \frac{5}{3} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ & & \frac{3}{5} \end{matrix} \right] A=LDLT=⎣⎡​211​25​23​​53​​⎦⎤​⎣⎡​21​​52​​35​​⎦⎤​⎣⎡​2​125​​123​53​​⎦⎤​

【1】 矩阵论(第二版)