关于偏度与峰度的一些探索 |
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,方差则是二阶中心矩 。 1. 偏度 偏度,Skewness,是研究数据分布对称的统计量。通过对偏度系数的测量,我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。 具体来说,对于随机变量X,我们定义偏度为其的三阶标准中心矩: 而对于样本的偏度,我们一般简记为SK,我们可以基于矩估计,得到有: 但考虑到,上式的分子分母都不是无偏估计量,因此也有计算公式为: 值得注意的是,上述两种样本偏度的最后计算结果都属于有偏估计。 偏度的衡量是相对于正态分布来说,正态分布的偏度为0。因此我们说,若数据分布是对称的,偏度为0.若偏度>0,则可认为分布为右偏,即分布有一条长尾在右;若偏度0,分布右偏,长尾在右,高峰在左,这似乎与一般认知不太一致。但其实我们可以发现偏度实际上是三阶标准中心矩,而一个数据距离“中心”越远,对中心矩的计算影响越大。而当数据长尾在右,即有更多正偏的离群值,因此偏度>0; 2.峰度 峰度,Kurtosis,是研究数据分布陡峭或平滑的统计量,通过对峰度系数的测量,我们能够判定数据分布相对于正态分布而言是更陡峭还是平缓。 具体来说,对于随机变量X,我们定峰度为其的四阶标准中心矩: 而对于样本的峰度,我们一般简记为K,可通过如下公式计算样本的峰度系数: 同样考虑到,上式的分子分母都不是无偏估计量,因此也有计算公式为: 特别需要注意的是,峰度其实也是一个相对于正态分布的对比量,正态分布的峰度系数为0,而均匀分布的峰度为-1.2,指数分布的峰度为6。 当峰度系数>0,从形态上看,它相比于正态分布要更陡峭或尾部更厚;而峰度系数 |
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