其中推导公式(9)运用的仍是公式(4)，过程如下：

求∫x^2*(arccosnx)^adx, n∈N*, a≠0.

解：记t=arccosax, 则x=1/a*cost, dx=-1/a*sintdt.

原积分=-1/(2a^3)*∫t^n*(sint)^2*costdt=-1/(4a^3)*∫t^n*(sin3t+sint)dt【这是公式(4)的两个实例的和】

=1/(4a^3)*∑(i=0->n)(n!∙t^(n-i))/(n-i)!*(1/3^(i+1)*cos(3t+iπ/2)+cos(t+iπ/2))+C.

而推导公式(10)运用的则是公式(3)，过程如下：

求∫x^2*(arcsinax)^ndx, n∈N*, a≠0.

解：记t=arcsinax, 则x=1/a*sint, dx=1/a*costdt.

原积分=1/(2a^3)∫t^n*(sint)^2*costdt=1/(4a^3)*∫tn(cost-cos3t)dt【这是公式(3)的两个实例的差】

=1/(4a^3)*∑(i=0->n)(n!∙t^(n-i))/(n-i)!*(sin(t+iπ/2)-1/3^(i+1)*sin(3t+iπ/2))+C

=1/(4a^3)*∑(i=0->n)(n!∙(arcsinax)^(n-i))/(n-i)!*(sin(arcsinax+iπ/2)-1/3^(i+1)*sin(3arcsinax+iπ/2))+C.

大家可以比较一下这两个公式，有许多共同之处。

下面看两道例题：

例1：求∫x^2*(arccosx)^2dx.

解：a=1, n=2,

原积分=1/4*∑(i=0->2)(2!*(arccosx)^(2-i))/(2-i)!*(1/3^(i+1)*cos(3arccosx+iπ/2)+cos(arccosx+iπ/2))+C

=(x^3*(arccosx)^2)/3-(2arccosx√(1-x^2))/3+(2arccosx√((1-x^2)^3 ))/9-(2x^3)/27-4x/9 +C.【结果已检验正确】

例2：求∫x^2*(arcsin77x)^7dx.

解：a=7, n=77,

原积分=

1/1372*∑(i=0->77)(77!∙(arcsin7x)^(77-i))/(77-i)!*(sin(arcsin7x+iπ/2)-1/3^(i+1)*sin(3arcsin7x+iπ/2))+C.【可以以这个结果做答】

最后来一道练习，其形式与例1非常相似，用的公式不同：

练习：求∫x^2(arcsinx)^2dx.

可以拿这个结果和例1的结果对照一下，非常相似。

最近老黄推了不少公式，不知道大家会不会觉得审美疲劳了。老黄要考虑一下还要不要继续推x^3乘反三角函数的公式了。因为老黄还是梦想能得到x^m乘反正弦或反余弦的n次方的不定积分公式的。尽管那样很难。返回搜狐，查看更多