ARMA Time Series Analysis author：zoxiii

【参考文献】王燕. 应用时间序列分析-第5版[M]. 中国人民大学出版社, 2019.

{ x t = ϕ 0 + ϕ 1 x t − 1 + . . . + ϕ p x t − p + ε t − θ 1 ε t − 1 − . . . − θ q ε t − q ϕ p ≠ 0   ,   θ q ≠ 0 E ( ε t ) = 0   ,   V a r ( ε t ) = σ ε 2   ,   E ( ε t ε s ) = 0   ,   s ≠ t E ( x s ε t ) = 0   ,   ∀ s < t \begin{cases} x_t=\phi_0+\phi_1x_{t-1}+...+\phi_px_{t-p}+\varepsilon_t-\theta_1\varepsilon_{t-1}-...-\theta_q\varepsilon_{t-q} \\ \phi_p \neq 0~,~\theta_q\ne 0 \\ E(\varepsilon_t)=0~,~Var(\varepsilon_t)=\sigma_\varepsilon^2~,~E(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0~,~s \ne t \\ E(x_s\varepsilon_t)=0~,~\forall s \lt t \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​xt​=ϕ0​+ϕ1​xt−1​+...+ϕp​xt−p​+εt​−θ1​εt−1​−...−θq​εt−q​ϕp​​=0 , θq​​=0E(εt​)=0 , Var(εt​)=σε2​ , E(εt​εs​)=0 , s​=tE(xs​εt​)=0 , ∀sϕj​,1≤j≤p0,j>p​        θk′​={θk​,1≤k≤q0,k>q​

对于一个平稳可逆ARMA(p,q)模型，它的逆转形式为： ε t = Φ ( B ) Θ ( B ) x t = ∑ j = 0 ∞ I j x t − j \varepsilon_t=\frac{\Phi(B)}{\Theta(B)}x_t=\sum_{j=0}^{\infty}{I_jx_{t-j}} εt​=Θ(B)Φ(B)​xt​=j=0∑∞​Ij​xt−j​ 其中 I j I_j Ij​为逆函数，通过待定系数法可得它的递推公式： { I 0 = 1 I j = ∑ j = 1 k θ j ′ I k − j − ϕ k ′ , k ≥ 1 \begin{cases} I_0=1 \\ I_j=\sum_{j=1}^{k}{\theta_j'I_{k-j}-\phi_k',k \ge 1} \end{cases} {I0​=1Ij​=∑j=1k​θj′​Ik−j​−ϕk′​,k≥1​ 其中 ϕ j ′ = { ϕ j , 1 ≤ j ≤ p 0 , j > p          θ k ′ = { θ k , 1 ≤ k ≤ q 0 , k > q \phi_j'=\begin{cases} \phi_j,1 \le j \le p \\ 0,j \gt p \end{cases}~~~~~~~~ \theta_k'=\begin{cases} \theta_k,1 \le k \le q \\ 0,k \gt q \end{cases} ϕj′​={ϕj​,1≤j≤p0,j>p​        θk′​={θk​,1≤k≤q0,k>q​