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import statsmodels.tsa.stattools as stm stm.adfuller（data, maxlag=None, regression=‘c’, autolag=‘AIC’, store=False, regresults=False)

1.平稳性： 假定某个时间序列是由一系列随机过程生成的，即假定时间序列 x t ( t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) {x_t}(t=1,2,3,4,5) xt​(t=1,2,3,4,5)的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：

均值 E ( X t ) = u E(X_t)=u E(Xt​)=u是与时间t无关的常数； 方差 V a r ( X t ) = σ 2 Var(X_t)=\sigma^{2} Var(Xt​)=σ2是与时间t无关的常数； 协方差 C o v ( X t , X t + k ) = r k Cov(X_t,X_{t+k})=r_k Cov(Xt​,Xt+k​)=rk​是只与时间间隔K有关，与时间t无关的常数 则称改随机时间序列是平稳的，而该随机过程是平稳随机过程。

白噪声（white noise）过程是平稳的： X t = U t , U − t   N ( 0 , σ 2 ) X_t=U_t,U-t~N(0,\sigma^2) Xt​=Ut​,U−t N(0,σ2) 随机游走(random walk)过程是非平稳的： X − t = X t − 1 + U t , U t   N ( 0 , σ 2 ) X-t = X_{t-1} + U_t,U_t~N(0,\sigma^2) X−t=Xt−1​+Ut​,Ut​ N(0,σ2) V a r ( X t ) = t σ 2 Var(X_t) = t\sigma^2 Var(Xt​)=tσ2 随机游走的一阶差分（first difference）是平稳的： △ X t = X t − X t − 1 = U t , U t   N ( 0 , σ 2 ) \triangle X_t=X_t-X_{t-1} = U_t,U_t~N(0,\sigma^2) △Xt​=Xt​−Xt−1​=Ut​,Ut​ N(0,σ2) 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可以通过取差分的方法而形成平稳序列。

2.自回归，autoregressive model：用同一变数，例如X的之前各期， x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , , x t − 1 x_1,x_2,x_3,x_4,,x_{t-1} x1​,x2​,x3​,x4​,,xt−1​来预测本期x的表现，并假设他们为线性关系。 X t = c + ∑ ϕ i X t − i + ϵ t X_t = c+\sum \phi_iX_{t-i} + \epsilon_t Xt​=c+∑ϕi​Xt−i​+ϵt​ c是常数项， ϵ t \epsilon_t ϵt​被假设为平均数等于0，标准差等于 σ \sigma σ的随机误差值； σ \sigma σ被假设为对于任何的t都不变。 缺点：必须具有自相关，自相关系数 ϕ \phi ϕ是关键，如果其小于0.5，则不宜采用，否则预测结果极不准确。 例1．Yt = α+βXt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较一般的情况是： Yt = α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut, t = 1,2,…,n 即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖于X的若干期滞后值。这类模型称为分布滞后模型，因为X变量的影响分布于若干周期。 例2．Yt = α+βYt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系，即依赖于它的过去值。一般情况可能是： Yt = f (Yt-1, Yt-2, … , X2t, X3t, … ) 即Y的现期值依赖于它自身若干期滞后值，还依赖于其它解释变量。 在本例中，滞后的因变量（内生变量）作为解释变量出现在方程的右端。这种包含了内生变量滞后项的模型称为自回归模型。 在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线性问题。因此，分布滞后模型极少按（1）式这样的一般形式被估计。通常采用对模型各系数βj施加某种先验的约束条件的方法来减少待估计的独立参数的数目，从而避免多重共线性问题，或至少将其影响减至最小。这方面最著名的两种方法是科克方法和阿尔蒙方法。

3 ADF检验模型： △ X t = σ X t − 1 + ∑ i = 1 m β i △ X t − i + ϵ t (1) \triangle X_t = \sigma X_{t-1} + \sum_{i=1}^{m} \beta_i \triangle X_{t-i} + \epsilon_t \tag 1 △Xt​=σXt−1​+i=1∑m​βi​△Xt−i​+ϵt​(1) △ X t = α + σ X t − 1 + ∑ i = 1 m β i △ X t − i + ϵ t (2) \triangle X_t = \alpha + \sigma X_{t-1} + \sum_{i=1}^{m} \beta_i \triangle X_{t-i} + \epsilon_t \tag2 △Xt​=α+σXt−1​+i=1∑m​βi​△Xt−i​+ϵt​(2) △ X t = α + β t + σ X t − 1 + ∑ i = 1 m β i △ X t − i + ϵ t (3) \triangle X_t = \alpha + \beta t +\sigma X_{t-1} +\sum_{i=1}^{m} \beta_i \triangle X_{t-i} +\epsilon_t \tag3 △Xt​=α+βt+σXt−1​+i=1∑m​βi​△Xt−i​+ϵt​(3)

零假设 H0： σ = 0 \sigma=0 σ=0，原序列存在单位根，为非平稳序列 备则假设 H1： σ < 0 \sigma