第一类换元积分法：灵感来自于复合函数的求导，利用中间变量替换得到复合函数的积分法：设f(u)f(u)f(u)具有原函数，u=φ(x)u=\varphi(x)u=φ(x)可导，则有换元公式 ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)​ ∫2cos⁡2xdx=∫cos⁡2x(2x)′dx(令u=2x)=sin⁡2x+C\int 2\cos 2xdx=\int \cos 2x(2x)'dx(令u=2x)=\sin 2x+C∫2cos2xdx=∫cos2x(2x)′dx(令u=2x)=sin2x+C ∫2xex2dx=∫ex2(x2)′dx=ex2+C\int 2xe^{x^2}dx=\int e^{x^2}(x^2)'dx=e^{x^2}+C∫2xex2dx=∫ex2(x2)′dx=ex2+C 第二类换元积分法: 设x=ψ(t)x=\psi(t)x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)≠0\psi'(t)\ne 0ψ′(t)=0. 又设f[ψ(t)]ψ′(t)f[\psi(t)]\psi'(t)f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式 ∫f(x)dx=[∫f(ψ(t)ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)\int f(x)dx=\left[\int f(\psi(t)\psi'(t)dt\right]_{t=\psi^{-1}(x)}∫f(x)dx=[∫f(ψ(t)ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)​ 这种情况其实很难一眼直观看出来，三角函数相关的积分比较常见。 f(x)=a2−x2dx=a2cos⁡2t∣dt(令x=asin⁡t,−π2x:3,y:t,4:1}) # 替换，部分求和 ff = sp.exp(x**y) ff.diff(x,x,y) # 对x求2次偏导，再对y求1次偏导 ff.diff(x,2,y,3) # 对x求2次偏导，再对y求3次偏导 ff.expand() # 因式展开 ff.factor() # 因式分解 ff.series(x, 10) # 泰勒展开 ff.series(x,y,10) # 二阶泰勒展开 ff.simplify() # 启发式化简 diffeq = [sympy.Eq(f(x).diff(x, x) - f(x), sympy.sin(x)), sympy.Eq(g(x).diff(x), 0)] res = sympy.dsolve(diffeq, [f(x), g(x)], ics={f(0): 1, f(x).diff(x).subs(x, 0): 3}) # 指定初值，求解微分方程